Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

1. Последняя цифра $4^n$ повторяется с периодом 2: $4,6,4,6,\dots$. Значит, к $a_1=2$ по очереди прибавляются 4 и 6.

2. Если $n$ нечётно, за $n-1$ шагов прибавлено поровну четвёрок и шестёрок — по $\frac{n-1}{2}$ каждой: $a_n=2+\frac{n-1}{2}(4+6)=5n-3$.

Если $n$ чётно, четвёрок на одну больше: прибавлено $\frac n2$ четвёрок и $\frac n2-1$ шестёрок: $a_n=2+4\cdot\frac n2+6\left(\frac n2-1\right)=5n-4$.

Обе формулы объединяются в $a_n=5n-3-\dfrac12\left(1+(-1)^n\right)$.

3. Смотрим на последнюю цифру $a_n$: при нечётном $n$ она равна 2 (у $5n-3$), при чётном — 6 (у $5n-4$). Полный квадрат не может оканчиваться на 2 (квадраты оканчиваются только на 0,1,4,5,6,9), поэтому квадратом может быть только $a_n$ с чётным $n$, то есть $5n-4=x^2$, где $x$ оканчивается на 4 или 6 (чтобы $x^2$ оканчивалось на 6). Отсюда $n=\dfrac{x^2+4}{5}$.

4. Степени двойки циклически оканчиваются на $2,4,8,6$ (период 4). Чтобы совпасть с $a_n$, нужна последняя цифра 2 или 6.

• Если $2^{4y+1}$ (оканчивается на 2) равно $a_n=5n-3$ (нечётное $n$), получаем $n=\dfrac{2^{4y+1}+3}{5}$.
• Если $2^{4y}$ (оканчивается на 6) равно $a_n=5n-4$ (чётное $n$), получаем $n=\dfrac{2^{4y}+4}{5}$.