Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Обозначим $a_1=a,\ a_2=b$ — натуральные числа. Тогда по правилу $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ получаем $a_3=a+b,\ a_4=a+2b,\ a_5=2a+3b$.

а) Равенство $\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{9}{5}$ означает $5(2a+3b)=9(a+2b)$, то есть $a=3b$. Взяв $b=1,\ a=3$, получаем последовательность $3,1,4,5,9,\dots$, для которой $a_5/a_4=9/5$ действительно выполняется — значит, равенство возможно.

б) Аналогично $\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{7}{5}$ даёт $5(2a+3b)=7(a+2b)$, то есть $3a+b=0$. Но $a,b$ — натуральные (положительные) числа, а сумма положительных чисел не может равняться нулю. Значит, такое равенство невозможно.

в) Дано уравнение $6n\,a_{n+1}=(2n^2-2)a_n$, то есть $3n\,a_{n+1}=(n^2-1)a_n$. Введём $x=a_{n-2},\ y=a_{n-1}$; тогда $a_n=x+y,\ a_{n+1}=x+2y$ (по правилу Фибоначчи). Подставив, получим $$3n(x+2y)=(n^2-1)(x+y)\ \Leftrightarrow\ (n^2-3n-1)x+(n^2-6n-1)y=0.$$ При $n\ge 7$ верно $n^2-3n-1>n^2-6n-1>n(n-7)\ge 0$, то есть оба коэффициента неотрицательны (и хотя бы один строго положителен), а $x,y>0$ — значит сумма не может быть нулём, равенство невозможно.

При $n=6$: $17x-y=0\Rightarrow y=17x$. Тогда $a_3=a_5-a_4=16x$, а $a_2=a_4-a_3=x-16x<0$ — противоречие, значит $n=6$ не подходит.

При $n=5$: $9x-6y=0\Rightarrow y=\dfrac32x$. Тогда $a_4=\dfrac32x,\ a_3=x,\ a_2=a_4-a_3=\dfrac12x,\ a_1=a_3-a_2=\dfrac12x$. Взяв $x=2$, получаем последовательность $1,1,2,3,5,8,\dots$ (числа Фибоначчи), для которой все члены натуральные, и равенство выполняется при $n=5$.

Таким образом, наибольшее возможное значение — $n=5$.