Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Шаг 1. Находим первые члены (пункт а). По условию $a_{n+2}=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$, $a_1=1,\ a_2=2$. Последовательно подставляем: $a_3=\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac12,\quad a_4=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{2}{1/2}=4,\quad a_5=\dfrac{a_3}{a_4}=\dfrac{1/2}{4}=\dfrac18.$ Сумма первых пяти членов: $1+2+\dfrac12+4+\dfrac18=7+\dfrac58=7\dfrac58.$

Шаг 2. Переходим к логарифмам (пункт б). Пусть $b_n=\log_2 a_n$. Так как деление превращается в вычитание логарифмов, из $a_{n+2}=a_n/a_{n+1}$ получаем линейную рекуррентность $b_{n+2}=b_n-b_{n+1}$. Начальные значения: $b_1=\log_2 1=0,\ b_2=\log_2 2=1$. Эта формула порождает последовательность, по модулю совпадающую с числами Фибоначчи, но со знаками, меняющимися через один шаг. Считаем подряд: $b_3=-1,\ b_4=2,\ b_5=-3,\ b_6=5,\ b_7=-8,\ b_8=13,\ b_9=-21,\ b_{10}=34,\ b_{11}=-55,\ b_{12}=89,\ b_{13}=-144,\ b_{14}=233,\ b_{15}=-377,\ b_{16}=610,\ b_{17}=-987,\ b_{18}=1597,\ b_{19}=-2584,\ b_{20}=4181.$ Значит, $\log_2 a_{20}=b_{20}=4181.$

Шаг 3. Произведение первых 20 членов (пункт в). Поскольку $a_i=2^{b_i}$, произведение равно $2^{\,b_1+b_2+\dots+b_{20}}$. Чтобы найти показатель, используем то же тождество, переписанное как $b_{n+2}+b_{n+1}=b_n$. Сгруппируем сумму так: $S=b_1+b_2+(b_3+b_4)+(b_5+b_6)+\dots+(b_{19}+b_{20}).$ Каждая пара в скобках по тождеству равна предыдущему четному члену: $(b_3+b_4)=b_2,\ (b_5+b_6)=b_4,\dots,(b_{19}+b_{20})=b_{18}.$ Тогда $S=b_1+b_2+b_2+b_4+b_6+b_8+b_{10}+b_{12}+b_{14}+b_{16}+b_{18}=0+1+1+2+5+13+34+89+233+610+1597=2585.$ Итак, произведение первых двадцати членов равно $2^{2585}.$