Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно просто предъявить пример и проверить его. Возьмём порядок 3, 1, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 9. В каждой четвёрке подряд идущих чисел (позиции 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9) ровно одно число кратно 3 (3, 6 или 9) и ровно одно кратно 4 (4 или 8). Проверка по всем шести четвёркам подтверждает условие, значит такая расстановка возможна.

б) Предположим, что расстановка существует, и получим противоречие. Чисел, кратных 3, всего три: 3, 6, 9. Условие «в любых четырёх подряд ровно одно кратное 3» означает, что расстояние между соседними такими числами равно ровно 3 позиции. Тогда первое из них (число 3, если оно стоит раньше остальных) должно занимать место с номером $1, 5$ или $9$ (иначе цепочка не уложится в 9 клеток равномерно).

С другой стороны, простых чисел среди 1-9 ровно четыре: 2, 3, 5, 7. Условие «в любых двух подряд ровно одно простое» означает, что простые и составные строго чередуются по позициям — то есть простое число либо стоит на всех чётных, либо на всех нечётных местах. Тогда число 3 (оно простое) должно стоять на месте с чётным номером: $2,4,6$ или $8$.

Получаем два взаимоисключающих требования к позиции числа 3 — противоречие. Значит, такая расстановка невозможна.

в) Пусть $n$ — сумма чисел на нечётных местах (их пять), тогда сумма на чётных местах равна $45-n$, так как сумма всех чисел от 1 до 9 равна $45$. Требуется максимизировать $$f(n)=n(45-n).$$ Это квадратичная функция с вершиной в точке $n=45/2=22{,}5$. Так как $n$ — целое (сумма пяти натуральных чисел), ближайшие к вершине значения — $n=22$ или $n=23$, и в обоих случаях $$f(n)=22\cdot 23=506.$$ Это и есть максимум среди целых $n$. Осталось показать, что такое $n$ достижимо: набрав на нечётных местах числа $2,3,4,5,9$ (сумма $23$), получаем расстановку 2, 1, 3, 6, 4, 7, 5, 8, 9, где сумма нечётных мест равна 23, чётных — 22, а произведение $23\cdot22=506$. Значит, наибольшее возможное значение произведения равно $506$.