Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть в школе №1 было $n$ учеников со средним баллом $A$, а в школе №2 — $51-n$ учеников со средним баллом $B$ (оба числа целые). После перехода одного ученика в школе №1 остаётся $n-1$ человек, а в школе №2 становится $52-n$.

а) Если новый средний балл в школе №1 стал $2A$, то сумма баллов там равна $2A(n-1)$. Ушедший ученик унёс $u=nA-2A(n-1)=A(2-n)$ баллов. Так как $n\ge 2$, получаем $u\le 0$ — а баллы натуральные, значит $u>0$. Противоречие, значит удвоение невозможно.

б) При росте обоих средних на 10% суммы становятся $1{,}1A(n-1)$ и $1{,}1B(52-n)$. Баллы перешедшего ученика: $u=nA-1{,}1A(n-1)=A(1{,}1-0{,}1n)$, и одновременно $u=1{,}1B(52-n)-(51-n)B=B(6{,}2-0{,}1n)$. Умножив на 10: $$10u=A(11-n)=B(62-n).$$ При $B=1$ нужно, чтобы $(62-n)$ делилось на 10 и $11-n>0$ (иначе $u\le0$). Единственный подходящий $n=2$, тогда $9A=60$, откуда $A=20/3$ — не целое. Значит $B=1$ невозможен.

в) Используем ту же формулу $10u=A(11-n)=B(62-n)$ с условием $n<11$ (иначе $u\le0$). Проверяем малые $B$: — $B=2$: подходят $n=2$ или $n=7$, но тогда $9A=120$ или $4A=110$ — оба не дают целого $A$. — $B=3$: подходит $n=2$, тогда $9A=180\Rightarrow A=20$, $u=18$ — все числа целые и положительные.

Пример: в школе №1 два ученика с баллами 22 и 18 (сумма 40, среднее 20); в школе №2 — 49 учеников по 3 балла. После перехода ученика с 18 баллами: в школе №1 остаётся один ученик с 22 баллами (средний балл 22, рост на 10% от 20 — верно), в школе №2 сумма $49\cdot3+18=165$, учеников 50, средний балл $3{,}3$ — тоже рост на 10% от 3. Условия выполняются, значит наименьшее возможное значение $B=3$.