Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Обозначим: $n$ — число учеников школы №1 до перехода, $m$ — школы №2, $n+m=9$, $n\ge2$, $m\ge2$. Ученик со школы №1 переходит в школу №2, набрав $u$ баллов.

а) Возьмём $n=2$: один ученик набрал 1 балл, другой — 19. Средний балл $A=10$. Уходит ученик с 19 баллами, остаётся один со средним $1$ — балл уменьшился ровно в 10 раз. Значит, такое возможно.

б) Пусть в школе №2 средний балл был $B$, число учеников $m$. После прихода ученика с баллом $u$ средний балл стал $0{,}9B$: $$\frac{mB+u}{m+1}=0{,}9B \;\Rightarrow\; 10u=(9-m)B=nB,$$ так как $n=9-m$. Если $B=7$, то $10u=7n$. Поскольку $\gcd(7,10)=1$, $n$ должно делиться на 10, но $2\le n\le7$ — противоречие. Значит, $B=7$ невозможен.

в) Пусть средний балл школы №1 был $A$. После ухода ученика с баллом $u$ средний балл стал $0{,}9A$: $$\frac{nA-u}{n-1}=0{,}9A \;\Rightarrow\; 10u=A(n+9).$$ Сравнивая с $10u=nB$, получаем $$A=\frac{nB}{n+9}.$$ Нужно, чтобы $A$, $B$, $u$ были натуральными, а $n\in\{2,\dots,7\}$. Требование $nB\equiv0\pmod{10}$ и целостности $A$ проверяем для малых $B$:

• $B=1,2,3,4$ — при всех допустимых $n$ либо $nB$ не делится на 10, либо $A$ не целое.
• $B=5$: при $n=6$ имеем $nB=30$, $A=\dfrac{30}{15}=2$, $u=\dfrac{30}{10}=3$ — все условия выполнены.

Пример: в школе №1 шесть учеников (три по 1 баллу, три по 3 балла, средний $A=2$), в школе №2 три ученика по 5 баллов ($B=5$); переходит ученик с 3 баллами. Проверка подтверждает уменьшение обоих средних на 10%.

Таким образом, наименьшее возможное значение $B$ равно $5$.