Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть до перехода в школе №1 было $50-m$ учеников со средним баллом $A$, а в школе №2 — $m$ учеников со средним $B$; переходит ученик с баллом $u$.

а) Возьмём в школе №1 двух учеников с баллами 1 и 3 (средний балл 2). Переходит ученик с 3 баллами — в школе №1 остаётся один ученик с баллом 1, средний балл стал 1, т.е. уменьшился вдвое. Условие «минимум 2 ученика в каждой школе» и «всего 50» легко выполнить, добавив нужное число учеников во вторую школу.

б) Из условия «средний балл школы №2 упал на 2%»: $0,98(m+1)B=mB+u\Rightarrow 50u=(49-m)B$. Если $B=9$, то $\gcd(9,50)=1$, значит $50u$ делится на 50 только если $49-m\equiv0\pmod{50}$, т.е. $m=49$, что невозможно при $2\le m\le47$. Значит равенство противоречиво — $B=9$ не подходит.

в) Аналогично для школы №1: $0,98(49-m)A=(50-m)A-u\Rightarrow 50u=(99-m)A$. Значит $A(99-m)=B(49-m)=50u$. Проверяя малые $B$: при $B=1,3$ делимость на 50 не выполняется; при $B=5$ получаем $m=9,19,29,39$, но $A$ не целое; при $B=2,4$ получаем $m=24$, но $A$ не целое; при $B=6,\ m=24$: $25\cdot6=150=50u\Rightarrow u=3$, и $75A=150\Rightarrow A=2$ — целое. Значит минимальное значение $B=6$, пример: 26 учеников в школе №1 (по 13 с баллами 1 и 3), 24 ученика в школе №2 по 6 баллов, переходит ученик с 3 баллами.