Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая идея. Увеltuning на 12,5% — это умножение на $\frac{9}{8}$.

а) Пусть в школе №1 сначала было $n$ учеников с суммой баллов $54n$ (средний балл 54). Ушедший ученик набрал $a$ баллов. После ухода остаётся $n-1$ учеников, средний балл вырос в $\frac98$ раза: $$\frac{54n-a}{n-1}=54\cdot\frac98=\frac{243}{4}.$$ Отсюда $4(54n-a)=243(n-1)$, то есть $27n=243-4a$, значит $n=9-\frac{4a}{27}<9$. Так как $243=3^5$ и $\gcd(243,4)=1$, из равенства следует, что $(n-1)$ делится на 4. При $n<9$ и $n\ge2$ единственный подходящий вариант $n-1=4$, то есть $n=5$.

б) Сумма баллов в школе №1 до ухода: $54\cdot5=270$. После ухода 4 ученика набрали в сумме $4\cdot\frac{243}{4}=243$, значит ушедший ученик набрал $270-243=27$ баллов. Остальные трое учеников не могут набрать меньше $3\cdot1=3$ баллов, поэтому максимум для одного из них: $243-3=240$.

в) Средний балл не может быть меньше 1, так как баллы — натуральные числа. Проверим, достижимо ли значение 1: пусть в школе №2 было $m$ учеников, каждый со средним баллом 1 (сумма $m$). После прихода ученика с 27 баллами: $$\frac{m+27}{m+1}=\frac98.$$ Решая, $8(m+27)=9(m+1)\Rightarrow m=207$. Такой пример возможен (207 учеников по 1 баллу), значит минимальный средний балл во второй школе равен 1.