Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Часть а)

Проверим, могла ли первая кучка содержать гирьки 11 г, 15 г, 19 г.

Средняя масса в первой кучке до перекладывания: $$\frac{11 + 15 + 19}{3} = \frac{45}{3} = 15 \text{ г}$$

После перекладывания средняя масса увеличилась на 1 г, значит стала 16 г.

В первой кучке стало 4 гирьки (было 3, добавили 1), поэтому их суммарная масса: $$16 \cdot 4 = 64 \text{ г}$$

Масса добавленной гирьки: $$64 - 11 - 15 - 19 = 64 - 45 = 19 \text{ г}$$

Но гирька в 19 г уже находится в первой кучке! Одинаковых гирек в наборе нет, поэтому это невозможно.

Ответ: нет

---

Часть б)

Пусть в первой кучке было $n$ гирек с суммарной массой $9,5n$ граммов.

После перекладывания в первой кучке стало $n+1$ гирька, и средняя масса стала $9,5 + 1 = 10,5$ г.

Суммарная масса в первой кучке стала: $$10,5(n+1) \text{ г}$$

Масса добавленной гирьки равна разнице: $$10,5(n+1) - 9,5n = 10,5n + 10,5 - 9,5n = n + 10,5 \text{ г}$$

Но все гирьки имеют целую массу в граммах! Число $n + 10,5$ никогда не будет целым (оно заканчивается на 0,5).

Ответ: нет

---

Часть в)

Обозначим: в первой кучке было $n$ гирек со средней массой $x$ г, суммарная масса $xn$ г.

После перекладывания: в первой кучке $n+1$ гирька со средней массой $(x+1)$ г, суммарная масса $(x+1)(n+1)$ г.

Масса добавленной гирьки: $$(x+1)(n+1) - xn = xn + x + n + 1 - xn = x + n + 1 \text{ г}$$

Теперь найдём ограничение на $n$. Минимальная суммарная масса $n$ гирек — это когда берём самые лёгкие: 1, 2, 3, ..., $n$ граммов: $$\text{Суммарная масса} \geq 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Поэтому средняя масса: $$x \geq \frac{n+1}{2}$$

Масса добавленной гирьки не может превышать 70 г: $$x + n + 1 \leq 70$$

Подставим оценку для $x$: $$\frac{n+1}{2} + n + 1 \leq 70$$

$$\frac{n+1 + 2n + 2}{2} \leq 70$$

$$\frac{3n + 3}{2} \leq 70$$

$$3n + 3 \leq 140$$

$$3n \leq 137$$

$$n \leq 45\frac{2}{3}$$

Поскольку $n$ целое: $n \leq 45$.

Проверка, что 45 достижимо:

Возьмём в первую кучку гирьки: 1, 2, 3, ..., 45 г.

Суммарная масса: $\frac{45 \cdot 46}{2} = 1035$ г.

Средняя масса: $x = \frac{1035}{45} = 23$ г.

Добавляем гирьку массой: $x + n + 1 = 23 + 45 + 1 = 69$ г.

Проверка:

• Новая суммарная масса: $1035 + 69 = 1104$ г
• Новое количество: 46 гирек
• Новая средняя масса: $\frac{1104}{46} = 24$ г ✓
• Увеличение средней массы: $24 - 23 = 1$ г ✓
• Гирька в 69 г входит в исходный набор (от 1 до 70) ✓

Ответ: 45