Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Пусть в школе №1 писали тест $n$ человек, сумма баллов $18n$. После перехода одного ученика осталось $n-1$ человек, средний балл вырос на 10%, то есть стал $19{,}8$. Сумма баллов уменьшилась ровно на балл ушедшего ученика: $$18n-19{,}8(n-1)=1{,}8(11-n).$$ Это число должно быть натуральным. Поскольку $1{,}8=\dfrac{9}{5}$, число $11-n$ должно делиться на 5. При $n\ge2$ единственный подходящий вариант $11-n=5$, то есть $n=6$, и ушедший ученик набрал $1{,}8\cdot5=9$ баллов.

б) При $n=6$ сумма всех баллов $=18\cdot6=108$, один из учеников набрал 9. Все результаты разные натуральные числа. Чтобы максимизировать лучший результат, остальные (кроме 9) баллы берём наименьшими возможными различными натуральными числами: $1,2,3,4$. Тогда сумма пяти известных баллов $1+2+3+4+9=19$, а искомый максимум $=108-19=89$.

в) Пусть в школе №2 было $m$ учеников со средним $B$. После прихода ученика с 9 баллами: $$\frac{mB+9}{m+1}=1{,}1B \Rightarrow B(m+11)=90.$$ Значит $m+11$ — делитель 90, причём $m>10\Rightarrow m+11>21$. Делители 90, большие 21: 30, 45, 90. Наименьший даёт $m=19$ (при $B=3$). Пример: школа №2 — 19 учеников по 3 балла, ушедший ученик — 9 баллов, что согласуется со всеми условиями.