Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Пусть в школе №1 сначала 2 ученика с баллами 1 и 19, средний балл $10$. Ученик с 19 баллами переходит — в школе №1 остаётся один ученик с баллом 1, средний балл стал $1$, то есть уменьшился в 10 раз. Оставшихся 7 учеников (школа №2) берём все с одинаковым баллом $c$: их сумма $7c$ делится на 7 (средний — целый), а после перехода сумма $7c+19$ должна делиться на 8. Решая $7c+19\equiv0\pmod8$, получаем $c=3$: суммы $21$ и $40$ дают целые средние 3 и 5. Значит такая ситуация возможна — ответ «да».

б), в) Пусть в школе №2 было $m$ учеников со средним $B$, перешедший набрал $u$ баллов. Тогда $$u=0{,}9(m+1)B-mB=0{,}1(9-m)B\ \Rightarrow\ 10u=(9-m)B.$$ Если $B=7$: $(9-m)\cdot7$ должно делиться на 10, а $m\in[2,7]$, значит $9-m\in[2,7]$ — таких значений, делящихся на 10, нет. Противоречие, значит $B=7$ невозможно — ответ «нет».

Аналогично для школы №1 со средним $A$ и числом учеников $9-m$: $$10u=(18-m)A.$$ Объединяя, $(18-m)A=(9-m)B=10u$. Перебираем $B=1,2,3,4$: во всех случаях либо $10u$ не делится на 10 нужным образом, либо получаемое $A$ не целое (например, при $B=4,\,m=4$: $14A=20\Rightarrow A=10/7$). При $B=5,\,m=3$ получаем $u=3$, $A=2$ — все числа натуральные, условия выполняются. Значит минимальное значение $B=5$.