Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Число 11 стоит на окружности между двумя соседями. Для любого $x\in\{1,\dots,21\},\,x\ne11$ выполняется $|11-x|\le10$, так как максимальное отклонение от 11 достигается на краях диапазона (1 и 21). Значит обе разности с соседями числа 11 не превышают 10, то есть меньше 11. Следовательно, все 21 разность быть $\ge11$ не могут.

б) Достаточно построить пример. Расставим числа так: $1,12,2,13,3,14,4,15,5,16,6,17,7,18,8,19,9,20,10,21,11$. Проверка показывает, что каждая соседняя пара отличается ровно на 10 или 11, то есть все разности $\ge10$. Значит ответ — да.

в) Покажем, что $k=7$ невозможно. Рассмотрим 7 чисел $1,\dots,7$. Если хотя бы два из них стоят на окружности рядом или через одно место, их разность не больше $6<7$ — противоречие. Если же все они расположены так, что расстояние между любыми двумя из них не меньше 3, то суммарный «обход» по 7 промежуткам не меньше $3\cdot7=21$, а всего позиций ровно 21 — значит каждый промежуток равен ровно 3, то есть между соседними (из набора) числами стоят ровно две "чужие" позиции. Тогда число 8, оказавшееся в одном из таких промежутков, находится на расстоянии 1 или 2 от какого-то числа из $\{2,\dots,7\}$, а $|8-x|\le6<7$ для таких $x$. Итог: разность меньше 7 всегда найдётся, поэтому $k\le6$.

Пример, реализующий $k=6$: $1,8,15,2,9,16,3,10,17,4,11,18,5,12,19,6,13,20,7,14,21$. Проверка соседних и через одну пар показывает, что все разности $\ge6$. Значит наибольшее возможное $k=6$.