Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Сумма всех чисел: $1+2+\dots+9+16=61$, а их среднее арифметическое равно $\frac{61}{10}=6,1$.

а) Возьмём группы $\{2\}$, $\{1,3\}$, $\{4,5,6,7,8,9,16\}$. Первые две дают среднее $2$ и $\frac{1+3}{2}=2$ — совпадают, хотя число элементов разное (1 и 2). Значит, ответ — да.

б) Если все три средних равны одному числу $x$, то и общее среднее по всем 10 числам тоже равно $x$, то есть $x=\frac{61}{10}$. Так как $\gcd(61,10)=1$, дробь несократима, а значит сумма чисел в любой группе, дающей это среднее, должна делиться на 10 — то есть в каждой группе должно быть не меньше 10 чисел. Но всего чисел 10, а групп три, поэтому такое невозможно. Ответ — нет.

в) Общее среднее $6,1$ получить нельзя (см. п.б). Проверим средние с меньшим знаменателем: $6\frac{1}{9}$ и $6\frac{1}{8}$ также не реализуются (при разборе остатков после выделения такой группы оставшиеся числа дают средние больше искомого). Для $6\frac18$: группа из 8 чисел с суммой 49 оставляет пару с суммой 12 — варианты (3,9),(4,8),(5,7) всегда дают среднее большее $6\frac18$. Значит минимальный возможный максимум — $6\frac17$, и он достигается: группы $\{6\}$, $\{5,7\}$, $\{1,2,3,4,8,9,16\}$ дают средние $6,\,6,\,6\frac17$.