Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Идея. Если $A=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$ — разложение на простые множители, то число делителей равно $(k_1+1)(k_2+1)\cdots(k_n+1)$. Значит нужно подобрать показатели так, чтобы произведение $(k_i+1)$ равнялось $2020=2^2\cdot5\cdot101$.

а) Возьмём $A=(2^{3}\cdot3^{67})^{3}=2^{9}\cdot3^{201}$ — это куб. Число делителей: $(9+1)(201+1)=10\cdot202=2020$. Значит куб может иметь ровно 2020 делителей, и он не является 2020‑й степенью, значит ответ «да».

б) Если $A=m^4$, то все показатели $k_i$ кратны 4, поэтому все $(k_i+1)$ — нечётные числа, и их произведение нечётно. Но $2020$ чётно — противоречие. Значит четвёртой степенью $A$ быть не может.

в) Чтобы минимизировать $A$, надо большие степени давать меньшим простым числам (это уменьшает произведение). Так как $101$ — простое, один из множителей $(k_i+1)$ обязательно кратен $101$; минимальный такой множитель — сам $101$, то есть $k=100$, и его выгодно отдать наименьшему простому $2$: получаем $2^{100}$. Оставшиеся множители должны давать $2020/101=20$. Перебирая разложения $20$ на множители для простых $3,5,7,\dots$ (сравнивая $3^{19}$, $3^{9}\cdot5$, $3^{4}\cdot5^{3}$, $3^{4}\cdot5\cdot7$), наименьшим оказывается последний вариант. Итог: $A_{\min}=2^{100}\cdot3^{4}\cdot5\cdot7$.