Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) n=7. Заметим, что число 7 можно поставить в пару только с числом 2, так как $7+j$ — квадрат лишь при $j=2$ (единственный подходящий квадрат — 9, ведь $8\le 7+j\le14$). Аналогично для 6 единственный партнёр — 3 (снова сумма 9), а для 5 — 4. Эти три пары $(7,2),(6,3),(5,4)$ забирают все числа 2,3,4,5,6,7 — каждое ровно по одному разу и как «верхнее», и как «нижнее». Значит, единственное оставшееся число — 1 — обязано стоять само под собой: $\pi(1)=1$. Но $1+1=2$ не квадрат. Значит, требуемая расстановка невозможна.

б) n=12. Строим расстановку из двух независимых блоков.

• Блок $\{1,2,3\}$: меняем местами 1 и 3 ($1+3=4$), а 2 оставляем на месте ($2+2=4$).
• Блок $\{4,\dots,12\}$: отражаем числа относительно центра, т.е. $k\mapsto 16-k$: пары $(4,12),(5,11),(6,10),(7,9)$ и $8\mapsto8$ — все суммы равны $16=4^2$.

Такая расстановка — перестановка чисел от 1 до 12, и все суммы — квадраты (4 или 16). Значит, для n=12 это возможно.

в) n=2015. Идея — разбить числа $1,\dots,2015$ на два блока, в каждом из которых применить «отражение» относительно нужного квадрата, как в пункте б). Пусть числа $1,\dots,a$ отражаются как $k\mapsto x^2-k$, где $x^2=a+1$, а числа $a+1,\dots,2015$ отражаются как $k\mapsto y^2-k$, где $y^2=a+2016$ (это сумма наименьшего и наибольшего чисел второго блока). Оба отражения — перестановки соответствующих блоков с постоянной квадратной суммой.

Нужно подобрать $a$ так, чтобы оба числа были квадратами: $$a+1=x^2,\qquad a+2016=y^2.$$ Вычитая, получаем $$y^2-x^2=2015=(y-x)(y+x)=5\cdot13\cdot31.$$ Возьмём $y-x=31,\; y+x=65$, тогда $y=48,\ x=17$, и $a=x^2-1=288$. Проверка: $a+2016=2304=48^2$ — верно.

Таким образом, при n=2015 нужную расстановку можно построить, разбив числа на блок $1,\dots,288$ (суммы по 289) и блок $289,\dots,2015$ (суммы по 2304).