Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть $a$ и $b$ — натуральные корни уравнения. По теореме Виета: $a+b=-m$, $ab=k$.

а) $m=-6$. Тогда $a+b=6$. Различные натуральные пары с такой суммой: $(1,5)$ и $(2,4)$. Считаем $k=ab$: для $(1,5)$ $k=5$, для $(2,4)$ $k=8$.

б) $k-m=45$. Подставляя $k=ab$, $m=-(a+b)$, получаем $ab+a+b=45$. Прибавим 1 к обеим частям, чтобы разложить на множители: $ab+a+b+1=(a+1)(b+1)=46$. Оба сомножителя — натуральные числа не меньше 2 (так как $a,b\ge1$). Разложение $46=2\cdot23$ даёт $a+1=2,\ b+1=23$, то есть $a=1,\ b=22$. Тогда $m=-(a+b)=-23$.

в) $k^2-m^2=2236$. Разложим левую часть как разность квадратов: $(k-m)(k+m)=2236=2^2\cdot13\cdot43$. Так как $k-m$ и $k+m$ отличаются на $2m$ — чётное число, они одинаковой чётности, а произведение чётно, значит оба множителя чётные. Перебираем чётные делители 2236: подходят пары $(86,26)$ и $(1118,2)$ (остальные содержат нечётный множитель). Так как $m<0$, имеем $k-m>k+m$, поэтому большее число — это $k-m$.

Для $(86,26)$: $k-m=86,\ k+m=26\Rightarrow k=56,\ m=-30$. Уравнение $x^2-30x+56=0$ имеет дискриминант $900-224=676=26^2$, корни $\frac{30\pm26}{2}=28$ и $2$ — оба натуральные и различные, подходит.

Для $(1118,2)$: $k=560,\ m=-558$. Дискриминант $558^2-4\cdot560=309124$, что не является полным квадратом (между $556^2=309136$ и $555^2=308025$), значит натуральных корней нет.

Следовательно, единственные подходящие корни — $2$ и $28$.