Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

По теореме Виета для $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1,x_2$: $x_1+x_2=-p,\; x_1x_2=q$.

а) Так как $x_1x_2=q=34$, а корни — различные натуральные числа, разложим 34 в произведение двух множителей: $34=1\cdot34=2\cdot17$. Тогда возможные суммы $x_1+x_2=35$ или $x_1+x_2=19$. Значит $p=-(x_1+x_2)=-35$ или $p=-19$.

б) Условие $p+q=22$ переписываем через корни: $-(x_1+x_2)+x_1x_2=22$. Добавим по 1 к обеим частям: $x_1x_2-x_1-x_2+1=23$, то есть $(x_1-1)(x_2-1)=23$. Так как 23 — простое число, а $x_1-1,x_2-1$ — целые неотрицательные, единственный вариант: $\{x_1-1,x_2-1\}=\{1,23\}$, то есть $\{x_1,x_2\}=\{2,24\}$. Тогда $q=x_1x_2=48$.

в) Выразим $q-p$ и $q+p$ через корни: $q-p=x_1x_2+x_1+x_2$, $q+p=x_1x_2-x_1-x_2$. Их произведение $(q-p)(q+p)=q^2-p^2=2812=4\cdot703=4\cdot19\cdot37$. Разность $q-p$ и $q+p$ равна $2(x_1+x_2)$ — чётному числу, значит оба множителя одной чётности; так как произведение делится на 4 но не на 16 (ведь $703$ нечётно), каждый множитель делится ровно на 2. Значит $q-p=2a$, $q+p=2b$, где $ab=703=19\cdot37$, причём $q-p>q+p$ (поскольку $x_1+x_2>0$). Возможные пары $(q-p,q+p)$: $(1406,2)$ или $(74,38)$.

Для $(1406,2)$: $x_1x_2+x_1+x_2=1406$, $x_1x_2-x_1-x_2=2$. Тогда $(x_1+1)(x_2+1)=1407$, $(x_1-1)(x_2-1)=3$. Из второго уравнения $\{x_1,x_2\}=\{2,4\}$, но $(x_1+1)(x_2+1)=15\ne1407$ — решений нет.

Для $(74,38)$: $x_1x_2+x_1+x_2=74$, $x_1x_2-x_1-x_2=38$. Тогда $(x_1+1)(x_2+1)=75$, $(x_1-1)(x_2-1)=39$. Разложения 39 дают пары $\{x_1,x_2\}\in\{\{2,40\},\{4,14\}\}$. Проверка первого уравнения: для $\{2,40\}$: $3\cdot41=123\ne75$; для $\{4,14\}$: $5\cdot15=75$ — верно.

Значит корни исходного уравнения равны 4 и 14.