Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Уравнение $10x^2+bx+30=0$. По теореме Виета произведение корней $x_1x_2=\dfrac{30}{10}=3$, а сумма $x_1+x_2=-\dfrac{b}{10}$. Целые корни с произведением 3 — это пары (1;3) или (−1;−3). Сумма в первом случае 4, во втором −4, значит $b=-10\cdot(\pm4)=\mp40$, то есть $b=\pm40$.

б) Уравнение $ax^2+bx+b=0$ с целыми корнями $x_1,x_2$. По Виета $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-x_1x_2$, значит $x_1x_2+x_1+x_2+1=1$, то есть $(x_1+1)(x_2+1)=1$. Так как корни целые, множители равны $\pm1$ одновременно: $x_1+1=x_2+1=1$ или $x_1+1=x_2+1=-1$. Отсюда $x_1=x_2=0$ (уравнение $x^2=0$) или $x_1=x_2=-2$ (уравнение $x^2+4x+4=0$) — оба случая реализуемы.

в) Заметим, что четвёртая степень целого числа при делении на 4 даёт остаток 0 (чётное число) или 1 (нечётное, так как $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ делится на 4). Сумма трёх таких остатков равна $1568$, кратному 4, значит все остатки — 0, то есть $a,b,c$ чётны. Пусть $a=2A,b=2B,c=2C$; тогда $A^4+B^4+C^4=98$, а уравнение $Ax^2+Bx+C=0$ имеет те же корни, что исходное.

Перебором чётности и оценкой $A^4\le98\Rightarrow |A|\le3$ (аналогично для B,C) находим, что среди чисел ровно одно чётное, и единственный способ получить сумму 98 из четвёртых степеней — $81+16+1$, то есть $\{|A|,|B|,|C|\}=\{1,2,3\}$.

Произведение корней равно $C/A$ — целое число, значит $A=\pm1$. Меняя знаки всех коэффициентов (что не меняет корни) можно считать $A=1$, а меняя знак $B$ — считать $B>0$. Остаются уравнения $x^2+2x\pm3=0$ и $x^2+3x\pm2=0$.

Проверка: $x^2+2x-3=0\Rightarrow x=1,-3$; $x^2-2x-3=0\Rightarrow x=-1,3$; $x^2+3x+2=0\Rightarrow x=-1,-2$; $x^2-3x+2=0\Rightarrow x=1,2$. Остальные варианты действительных целых корней не дают.

Итого возможные пары корней: $\{-1,3\},\{1,-3\},\{-1,-2\},\{1,2\}$.