Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подставим $x=-7$ в уравнение $ax^2+bx+c=0$: $49a-7b+c=0$. Подбираем натуральные $a,b,c\le100$, отличающиеся друг от друга не менее чем на 2, удовлетворяющие этому равенству. Возьмём $a=2,b=16,c=14$: $98-112+14=0$ — верно, а разности $|2-16|=14$, $|16-14|=2$, $|2-14|=12$ все не меньше 2. Значит корень $-7$ возможен.

б) Пусть $x=-53$ — корень. Тогда $53^2a-53b+c=0$, откуда $c=53(b-53a)$, то есть $c$ делится на 53. Так как $1\le c\le100$, единственное такое значение — $c=53$ (уже $2\cdot53=106>100$). Подставляя, получаем $1=b-53a$, то есть $b=53a+1$. Если $a\ge2$, то $b\ge107>100$ — недопустимо, значит $a=1$, $b=54$. Но тогда $|b-c|=|54-53|=1<2$ — нарушено условие попарной разницы. Значит корень $-53$ невозможен.

в) Пусть корень равен $-n$, где $n\ge51$ — целое. Аналогично: $c=n(b-an)$, значит $c$ кратно $n$, а так как $n\ge51$ и $c\le100$, единственный вариант $c=n$. Тогда $b=an+1$, при $a\ge2$ получаем $b\ge2n+1>100$, значит $a=1$, $b=n+1$, и $|b-c|=1<2$ — противоречие. Таким образом, целый корень меньше $-50$ невозможен. Для $-50$ приводим пример: $x^2+52x+100=0$, корень $-50$ подходит, разности $52-100=48$, $100-1=99$, $52-1=51$ — все $\ge2$. Значит наименьший целый корень равен $-50$.