Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть уравнение $ax^2-bx+c=0$ имеет целый корень $n$. Подставив, получаем $an^2-bn+c=0$, откуда $c=n(b-an)$. Значит c должно делиться на n — это ключевой факт, который используем во всех пунктах.

а) Проверим уравнение $2x^2-20x+18=0$: при $x=9$ получаем $2\cdot81-20\cdot9+18=162-180+18=0$ — верно. Коэффициенты $2,20,18$ попарно отличаются не менее чем на 2. Значит, ответ «да».

б) Пусть $x=135$ — корень. Тогда $c=135(b-135a)$, то есть $c$ кратно 135. Так как $c\le200$, единственное такое значение — $c=135$. Подставив, получаем $135(b-135a)=135\Rightarrow b-135a=1\Rightarrow b=135a+1$. При $a\ge2$ получаем $b\ge271>200$ — недопустимо, значит $a=1$, $b=136$. Но тогда $b-c=136-135=1<2$ — нарушено условие о попарных разностях. Значит, число 135 не может быть корнем.

в) Аналогично для любого целого $n>100$: если $c$ кратно $n$ и $c\le200$, то единственный вариант $c=n$ (так как $2n>200$). Тогда $b=an+1$, и при $a=1$ получаем $b-c=1<2$ — противоречие, а при $a\ge2$ $b>200$. Значит, корень больше 100 невозможен.

Для $n=100$ возможны $c=100$ или $c=200$. Берём $c=200$: тогда $b=100a+2$, при $a=1$ получаем $b=102$. Уравнение $x^2-102x+200=0$ имеет корень 100, и все коэффициенты $1,102,200$ отличаются попарно не менее чем на 2. Значит, наибольший возможный целый корень равен 100.