Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Сначала выясним, как заменяется каждая цифра при возведении в куб и взятии последней цифры: $$0\to0,\;1\to1,\;2\to8,\;3\to7,\;4\to4,\;5\to5,\;6\to6,\;7\to3,\;8\to2,\;9\to9.$$ Цифры 0,1,4,5,6,9 переходят сами в себя, а пары (2,8) и (3,7) меняются местами — это дополнения до 10.

а) Замена цифр — взаимно однозначное соответствие (каждой цифре взаимного числа отвечает ровно одна исходная цифра). Значит по $n^*$ число $n$ восстанавливается однозначно, и разные числа не могут дать одинаковое $n^*$.

б) Пусть $n=\overline{a_0a_1\dots a_m}$, тогда $n^*=\overline{b_0b_1\dots b_m}$, где $b_i$ — образ цифры $a_i$. Число $\frac{n+n^*}{2}$ поразрядно равно $\frac{a_i+b_i}{2}$. Если $a_i$ не меняется, то $a_i=b_i$ и среднее равно самой этой цифре, которая при замене остаётся собой. Если $a_i$ меняется (пара 2–8 или 3–7), то $a_i+b_i=10$, и среднее $=5$ — а 5 тоже не меняется. Значит все цифры среднего числа неизменны, и оно всегда особенное.

Для трёхзначного особенного числа все его цифры должны быть из неизменяемого набора $\{0,1,4,5,6,9\}$, причём первая цифра $\neq0$: 5 вариантов на первую позицию и по 6 на вторую и третью, итого $5\cdot6\cdot6=180$.

в) Из уравнения $n+n^*=1318$ получаем $\frac{n+n^*}{2}=659$ — это и есть особенное число из середины, значит первая и последняя цифры $n$ равны 6 и 9 (они неизменны). Средняя цифра даёт 5 в среднем числе, значит либо сама равна 5, либо входит в пару, дающую сумму 10 с образом: подходят 2,3,5,7,8. Отсюда $n\in\{629,639,659,679,689\}$ — проверка подтверждает каждую сумму равной 1318.