Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть Дима загадал цифру $x$, Никита — цифру $y$, и без ограничения общности $x\ge y$ (иначе поменяем ролями). Маша считает произведение суммы, разности и самих чисел: $$P=xy(x-y)(x+y).$$ Поскольку числа умножаются, а не складываются, все четыре множителя должны быть не нулевыми, значит $0<y<x\le 9$ (равенство $x=y$ или $y=0$ дали бы $P=0$, а $x=0$ противоречит $x>y>0$).

а) $P=1989$. Число 1989 нечётно. Но среди сомножителей $x,y,x-y,x+y$ хотя бы два имеют одинаковую чётность (это легко проверить: если $x,y$ разной чётности, то $x-y$ и $x+y$ — нечётные, если одинаковой — оба чётные), поэтому произведение $P$ всегда чётно. Нечётное число чётным быть не может — решений нет.

б) $P=2012=4\cdot503$. Число 503 простое. Значит, чтобы получить его как множитель произведения четырёх чисел, один из сомножителей $x,y,x-y,x+y$ обязан делиться на 503. Но все они не превышают $9+9=18$ по модулю, то есть меньше 503 — такое невозможно. Решений нет.

в) $P=2016=2^5\cdot3^2\cdot7$. Разбираем делимость на 3: если хотя бы два из чисел $x,y,x-y,x+y$ делятся на 3, то делятся и все четыре (это следует из свойств сумм/разностей чисел, кратных 3), тогда $P$ делилось бы на $3^4=81$, а в разложении 2016 только $3^2$ — противоречие. Значит ровно один множитель делится на 3, и, чтобы получить $3^2$, именно он делится на 9.

Поскольку $0<y<x\le9$, ни $y$, ни $x-y$ не могут достигать 9, поэтому на 9 делится либо $x$, либо $x+y$.

Если $x+y=9$ (других вариантов, кратных 9 и меньше 18, нет), то для множителя 7 нужно, чтобы делился на 7 один из оставшихся: $x=7\Rightarrow y=2$ — не подходит по чётности произведения (проверка полного равенства не даёт 2016), $x-y=7\Rightarrow x=8,y=1$ — тоже не подходит.

Если $x=9$, то для делимости на 7 подходит $y=7$: тогда $x-y=2$, $x+y=16$, и $$P=9\cdot7\cdot2\cdot16=2016,$$ что совпадает с искомым числом. Остальные варианты ($x-y=7\Rightarrow y=2$, $x+y=14\Rightarrow y=5$) при проверке не дают 2016.

Таким образом единственное решение — $x=9,\ y=7$.