ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 19Числа и их свойства

Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 19Числа и их свойстваЧисловые наборы на карточках и досках

На асфальте мелом написали в ряд 333 цифры 3 и расставили между некоторыми из них знаки «плюс» и «минус».

А)  Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?

Б)  У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое, и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?

В)  Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте б).

В подтеме 215 задач
Разбор
Главная идея: Сумма цифр резко уменьшает число и сохраняет остаток по модулю 3, поэтому после нескольких итераций результат стабилизируется на однозначном числе, кратном 3.

Идея. Из 333 цифр «3» можно составить выражение, равное почти любому кратному тройке числу в широком диапазоне, а операция «сумма цифр» быстро уменьшает число, поэтому её многократное применение почти всегда даёт однозначный результат, причём кратный 3 (так как исходное выражение — сумма/разность троек, значит, кратно 3, а сумма цифр числа сравнима с ним по модулю 3).

а) Возьмём 333+3−3+3−3+⋯+3−3333+3-3+3-3+\dots+3-3, где пара +3−3+3-3 повторяется 165 раз (это как раз использует оставшиеся 330=2⋅165330=2\cdot165 троек). Каждая такая пара даёт 0, поэтому всё выражение равно 333333. Значит, ответ «да».

б) Максимально возможное по модулю значение выражения — когда все 333 тройки складываются: 3⋅333=9993\cdot333=999. Значит, само выражение — не более чем трёхзначное число, и сумма его цифр не превышает 9+9+9=279+9+9=27. После второго применения операции число не больше 27, поэтому сумма его цифр не больше 2+7=92+7=9 (максимум даёт число 19, но 19≤2719\le27, реальный максимум суммы цифр среди чисел ≤27\le27 — 9+9=18→99+9=18\to9, во всяком случае это однозначное число). Таким образом, после трёх шагов результат заведомо однозначен и не может равняться 3333. Ответ: «нет».

в) Как показано выше, уже после второго шага число становится не больше 27, значит после третьего — однозначным (от 0 до 9), а дальше сумма цифр однозначного числа равна ему самому — оно перестаёт меняться. Значит, после 33 шагов результат — то же однозначное число, что и после 3-го шага. Поскольку исходное выражение всегда представляет собой сумму и разность чисел 3, оно кратно 3: ±3±3±⋯±3≡0(mod3)\pm3\pm3\pm\dots\pm3\equiv0\pmod3. Сумма цифр числа сравнима с самим числом по модулю 3, поэтому и результат каждого следующего шага также кратен 3. Значит, итоговое однозначное число может быть только 0,3,6,90,3,6,9. Все они реально достижимы:

  • 99: как в пункте а) (333+⋯=333→9333+\dots=333\to9);
  • 33: выражение 3+3−3+3−3+⋯+3−3=33+3-3+3-3+\dots+3-3=3 (используются все 333 тройки, сумма даёт 3);
  • 66: выражение 33333+3−3+3−3+⋯+3−3=3333333333+3-3+3-3+\dots+3-3=33333, сумма цифр =15=15, затем 1+5=61+5=6;
  • 00: подходящая комбинация плюсов и минусов (например, 33−3−3−3−3−3−3−3−3−3−3−3+3−3+3−⋯+3−3=033-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3+3-3+3-\dots+3-3=0) даёт 0.

Таким образом все четыре значения достижимы.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что число знаков «плюс»/«минус» ограничено количеством троек, и переоценивают максимально возможное значение выражения.
  • Забывают, что сумма цифр числа сравнима с самим числом по модулю 3, и не проверяют делимость на 3 при поиске возможных итоговых значений.
  • Ошибочно считают, что после нескольких применений операции число может снова стать многозначным, не доводя оценку до конца (до однозначного числа).
Непонятно?

Похожие задачи