Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) За каждый пройденный уровень заряд падает на 3, 6 или 9 пунктов — а это всегда числа, кратные 3. Значит, суммарная потеря заряда за любое количество уровней тоже кратна 3 (сумма кратных 3 чисел кратна 3). Число 32 на 3 не делится, поэтому такая потеря заряда невозможна.

б) Пусть $a$ — число уровней, где получена 1 звезда, $b$ — где 2 звезды, $c$ — где 3 звезды. По условию про звёзды: $$a+2b+3c=17.$$ По условию про заряд: $$9a+6b+3c=33.$$ Второе уравнение делим на 3: $$3a+2b+c=11.$$ Складываем его с первым уравнением: $$(3a+2b+c)+(a+2b+3c)=11+17,$$ $$4a+4b+4c=28,$$ откуда $$a+b+c=7.$$ Это и есть общее число пройденных уровней — 7.

в) Нужно найти максимум очков $2000a+5000b+9000c$ при известных $a+b+c=7$ и $3a+2b+c=11$. Вычитая из второго уравнения первое, получаем $$2a+b=4.$$ Так как $a,b,c\ge 0$ — целые, из $2a+b=4$ возможны только $a=0,1,2$:

• $a=0$: $b=4$, $c=7-0-4=3$ → очки $=5000\cdot4+9000\cdot3=47000$;
• $a=1$: $b=2$, $c=7-1-2=4$ → очки $=2000+10000+36000=48000$;
• $a=2$: $b=0$, $c=7-2-0=5$ → очки $=4000+0+45000=49000$.

Чем больше $c$ (уровней с тройной наградой), тем больше очков, поэтому наибольший результат — 49000, при $a=2,\;b=0,\;c=5$.