Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая идея. Если произведение трёх подряд идущих чисел оканчивается на определённые цифры, то оно представимо в виде $p=k\cdot10^{4}+\text{остаток}$, а $10^{4}=2^{4}\cdot5^{4}$. Раскладывая правую часть на степени 2 и 5, смотрим, какое из чисел $n,n+1,n+2$ обязано делиться на нужную степень 5 (только одно из трёх может делиться на 5) и на нужную степень 2.

а) Берём конкретную тройку $125,126,127$. Тогда $125\cdot126\cdot127=125\cdot(8\cdot16-2)(8\cdot16-1)=1000\big(8\cdot16^{2}-3\cdot16\big)+250$. Значит запись числа оканчивается на 250 — пример существует, ответ «да».

б) Если $p=n(n+1)(n+2)$ оканчивается на 8750, то $p=k\cdot10^{4}+8750=2\cdot5^{4}(8k+7)$. Так как из трёх подряд идущих чисел на 5 делится лишь одно, оно должно делиться на $5^{4}=625$; среди трёхзначных таких чисел только 625. Проверка $n=623,624,625$ показывает: при $n=623,624$ произведение делится на 4, что противоречит формуле (там множитель $2^{1}$); при $n=625$ получаем $p=2\cdot5^{4}\cdot313\cdot627$, а $313\cdot627\equiv3\pmod8$, что не совпадает с требуемым $8k+7\equiv7\pmod8$. Противоречие во всех случаях — такого числа нет, ответ «нет».

в) Если $p$ оканчивается на 4000, то $p=k\cdot10^{4}+4000=2^{4}\cdot5^{3}(5k+2)$. Одно из чисел $n,n+1,n+2$ делится на $5^{3}=125$, значит $n=125m,\;125m-1,\;125m-2$ при $m=1,\dots,7$. Кроме того, $p$ делится на $2^{4}=16$, а среди трёх подряд чисел не более двух чётных и не более одного кратного 4, поэтому одно из них должно делиться на 8 — это даёт условие $n\equiv0,6,7\pmod8$. Перебирая все три серии для $m=1,\dots,7$ и проверяя остаток при делении на 8 и требуемый остаток $(5k+2)$ при делении на 5, находим, что подходят только $n=750$ (даёт $p=750\cdot751\cdot752=2^{4}5^{3}(3\cdot751\cdot94)$, остаток 2 при делении на 5 верен) и $n=374$ (даёт $p=374\cdot375\cdot376=2^{4}5^{3}(187\cdot3\cdot47)$, остаток тоже верен). Остальные варианты либо не делятся на 16, либо делятся на $5^{4}$, что противоречит условию. Итог: $n=374$ и $n=750$.