Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть A — рейтинг по старой системе (среднее всех 7 оценок), B — по новой (среднее оставшихся 5 после отбрасывания min и max). Тогда $A=\dfrac{m}{7}$, $B=\dfrac{n}{5}$, где m, n — целые (суммы соответствующих оценок). Значит $A-B=\dfrac{5m-7n}{35}$ — дробь со знаменателем 35 (числитель целый).

а) Если $A-B=\dfrac{1}{30}$, то $5m-7n=\dfrac{35}{30}=\dfrac{7}{6}$ — не целое число, а слева целое. Противоречие, значит такая разность невозможна.

б) $\dfrac{1}{35}$ — дробь с нужным знаменателем, целочисленность не нарушается. Пример оценок 0,1,2,4,7,8,9: $A=\dfrac{31}{7}$, $B=\dfrac{22}{5}$, $A-B=\dfrac{155-154}{35}=\dfrac{1}{35}$. Значит такое значение достигается.

в) Обозначим x — наименьшую, z — наибольшую оценку, y — сумму остальных пяти. Тогда $A-B=\dfrac{x+y+z}{7}-\dfrac{y}{5}=\dfrac{5x-2y+5z}{35}$. Так как оценки различны и лежат строго между x и z, минимальная сумма y (для максимизации разности нужно y минимизировать) равна сумме пяти наименьших возможных чисел больше x: $(x+1)+(x+2)+\dots+(x+5)=5x+15$. Подставив, получаем $A-B\le\dfrac{5z-5x-30}{35}$. Максимум достигается при x=0, z=10: $\dfrac{50-30}{35}=\dfrac{4}{7}$. Пример 0,1,2,3,4,5,10 даёт именно это значение, значит максимум равен $\dfrac{4}{7}$.