Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Число $199$ — простое и делится только само на себя среди чисел от $100$ до $199$. Если бы множество разбилось на две части с равными произведениями, то произведение той части, где лежит $199$, делилось бы на $199$, а другой — нет. Равенство невозможно, значит множество не хорошее.

б) Элементы имеют вид $2^k$, $k=1,\dots,200$. Разобьём показатели на 100 пар с одинаковой суммой $201$: $(1,200),(2,199),\dots,(100,101)$. Возьмём в первое подмножество 50 таких пар, во второе — остальные 50, так чтобы суммы показателей совпали, например: $A=\{2^1,2^{200},2^3,2^{198},\dots,2^{99},2^{102}\}$, $B=\{2^2,2^{199},2^4,2^{197},\dots,2^{100},2^{101}\}$. Сумма показателей в каждой группе равна $50\cdot201=10050$, значит произведения равны $2^{10050}$. Множество хорошее.

в) Простые числа $5,7,11$ встречаются лишь у одного элемента, поэтому по тому же принципу, что и в п. а), они не могут входить в хорошее подмножество. Значит подходящие элементы — только $\{1,3,4,6,9,12\}$. Для четырёхэлементных подмножеств единственно возможное «честное» разбиение — на две пары с равным произведением. Проверяя пары: $1\cdot12=3\cdot4=12$ даёт множество $\{1,3,4,12\}$; $3\cdot12=4\cdot9=36$ даёт $\{3,4,9,12\}$. Остальные сочетания (например, $\{4,6,9,12\}$) равенства не дают. Значит хороших подмножеств ровно $2$.