Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно разбить $\{100,101,\dots,199\}$ на две части с равными суммами. Сгруппируем числа парами с одинаковой суммой $299$: $(100,199), (102,197), (104,195),\dots,(148,151)$ — это первая половина, а $(101,198),(103,196),\dots,(149,150)$ — вторая. Каждая пара даёт сумму $299$, пар поровну (по 25 в каждой группе), значит суммы обеих частей равны. Значит множество хорошее.

б) Числа — степени двойки: $2,4,8,\dots,2^{200}$. Сумма всех членов, меньших $2^{200}$: $2+4+\dots+2^{199}=2^{200}-2<2^{200}$. Значит подмножество без $2^{200}$ никогда не «догонит» подмножество с $2^{200}$ — суммы не могут быть равны. Значит множество не хорошее.

в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, если либо одно число равно сумме трёх остальных, либо есть две пары с равными суммами.

Первый случай даёт только $\{3,4,5,12\}$, так как для остальных троек сумма превышает 12 или не совпадает ни с одним числом множества.

Во втором случае сумма всех четырёх чисел чётна, значит нечётные $3$ и $5$ либо оба входят, либо оба не входят.

— Если оба входят: остальные два числа должны иметь разность $2$ (варианты сумм с $8$ невозможны), получаем $\{3,4,5,6\},\{3,5,6,8\},\{3,5,8,10\},\{3,5,10,12\}$.

— Если оба не входят: подмножество берём из $\{4,6,8,10,12\}$, проверкой находим $\{4,6,8,10\},\{4,6,10,12\},\{6,8,10,12\}$.

Всего получаем $1+4+3=8$ хороших подмножеств.