Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Разобьём числа от 200 до 299 на пары с равной суммой: $(200,299), (202,297), (204,295), \dots, (248,251)$ — это 25 пар с суммой 499 каждая, и аналогично $(201,298),(203,296),\dots,(249,250)$ — ещё 25 пар с той же суммой 499. Возьмём числа первых 25 пар в одно подмножество, а вторых 25 пар — в другое: суммы совпадут. Значит множество хорошее.

б) Здесь числа — степени двойки: $2,4,8,\dots,2^{100}$. Ключевое свойство: каждая степень двойки больше суммы всех предыдущих. Действительно, $2+4+\dots+2^{99}=2^{100}-2<2^{100}$. Значит, подмножество, содержащее $2^{100}$, всегда будет иметь бóльшую сумму, чем остальные числа вместе — поровну разбить нельзя. Множество не хорошее.

в) Четырёхэлементное множество хорошее, если либо одно число равно сумме трёх остальных, либо числа делятся на две пары с равными суммами. Первый случай даёт $\{1,2,4,7\}$ и $\{2,4,5,11\}$ (7=1+2+4, 11=2+4+5). Во втором случае сумма всех чисел чётна, значит чётные числа 2 и 4 входят в подмножество вместе или отсутствуют вместе. Если оба входят, нужно чтобы либо сумма двух оставшихся равнялась 6 ($\{1,2,4,5\}$), либо их разность равнялась 2 (пары с равными суммами $2+x=4+y$): получаем $\{1,2,4,5\},\{2,4,5,7\},\{2,4,7,9\},\{2,4,9,11\}$. Если 2 и 4 не входят, ищем среди $\{1,5,7,9,11\}$: подходят $\{1,5,7,11\}$ (1+11=5+7) и $\{5,7,9,11\}$ (5+11=7+9). Всего получаем 8 различных хороших подмножеств.