Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Первая и последняя цифры результата совпадают с первой и последней цифрами исходного числа, а между ними стоят суммы соседних цифр (одна или две цифры, если сумма ≥10). Разбираем 2108124117: 2 | 10 | 8 | 12 | 4 | 11 | 7. Тогда исходные цифры — 2, 8, 4, 7, и проверяем суммы: $2+8=10$, $8+4=12$, $4+7=11$ — всё совпадает. Значит число 2847 подходит.

б) Пусть в исходном числе есть цифра 9 (не последняя). Сумма её со следующей цифрой $d$ равна $9+d$. Если $d=0$, сумма $=9$ — вставляется одна цифра 9. Если $d\ge1$, сумма $\ge10$ — вставляются две цифры, первая из них 1. Значит, справа от «9» в результате обязана стоять цифра 1 или 9. В числе $37494128$ после девятки стоит 4 — противоречие. Проверим, не является ли эта 9 суммой соседних цифр 4 и 4: $4+4=8\ne9$. Значит такое число получить нельзя.

в) Пусть исходное число $100a+10b+c$. Результат семизначный, если $a+b\ge10$ и $b+c\ge10$, и тогда он равен $$a\cdot10^6+1\cdot10^5+(a+b-10)10^4+b\cdot10^3+1\cdot10^2+(b+c-10)10+c.$$ Признак делимости на 11 — чередующаяся сумма цифр: $a-1+(a+b-10)-b+1-(b+c-10)+c=2a-b$, и она должна делиться на 11. Чтобы результат был максимален, берём $a=9$ (наибольшее возможное), тогда $2a-b=18-b$ делится на 11 при $b=7$. При $a=9,b=7$ выбираем максимальное $c=9$ (при этом $b+c=16\ge10$, $a+b=16\ge10$ — условия выполнены). Итог: исходное число 979, результат $9167169$.