Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подберём пример: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$. Все четыре знаменателя различны, значит попарно разные натуральные числа возможны — ответ да.

б) Проверим, может ли одно число равняться 9: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=1$ — подходит, значит да.

в) Оценим границы значений. Если бы все четыре числа были больше 4, каждая дробь была бы меньше $1/4$, сумма — меньше 1, равенство нарушится. Если все не меньше 4, единственный вариант суммы равной 1 — это $a=b=c=d=4$, но тогда равны все четыре числа, а нам нужно ровно два равных. Число 1 невозможно, так как $1/1=1$ уже исчерпывает сумму при остальных положительных дробях. Значит среди чисел обязательно есть 2 или 3.

Пусть равны именно $c=d$ (по условию — ровно два числа совпадают). Подставляя $c=d$ в исходное уравнение и умножая на $abc$, получаем $abc=ac+bc+2ab$. Из симметрии $a$ и $b$ достаточно перебрать случаи, когда 2 или 3 совпадает с $a$ или с $c$.

1. $a=2$: уравнение сводится к $(b-2)(c-4)=8$. Разложения числа 8 на множители дают пары $(b,c)$: $(10,5)$, $(6,6)$ — отброшено, так как получилось бы три равных числа, $(4,8)$, $(3,12)$.

2. $a=3$: уравнение приводится к $(2b-3)(2c-6)=18$, откуда $(b,c)$: $(2,12)$, $(3,6)$ — отброшено (два совпадающих пары), $(6,4)$.

3. $c=2$: получаем $a+b=0$ — невозможно для натуральных чисел.

4. $c=3$: приходим к $(a-3)(b-3)=9$, что даёт $(4,12)$, $(12,4)$ — тот же набор, и $(6,6)$ — отброшено.

Собирая все допустимые наборы и убирая повторения с точностью до порядка, получаем окончательный список: $\{2,10,5,5\}$, $\{2,4,8,8\}$, $\{2,3,12,12\}$, $\{3,6,4,4\}$, $\{4,12,3,3\}$.