Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Пусть $a$ — первый член прогрессии, $d$ — разность. Тогда $a_3=a+2d$, $a_7=a+6d$, и условие даёт $3a+8d=125$. Сумма 15 членов АП считается по формуле $S_{15}=\dfrac{15(a_1+a_{15})}{2}=15(a+7d)$, отсюда $a+7d=59$. Решая систему $3a+8d=125,\ a+7d=59$, получаем $13d=52$, $d=4$, $a=31$. Числа $31,35,39,\dots,87$ — натуральные, различные, возрастающие. Условия выполнены — прогрессия существует.

б) Аналогично: $3a+8d=90$, $a+7d=54$. Умножив второе уравнение на 3 и вычтя первое: $13d=72$. Так как $72$ не делится на $13$, целого $d$ не существует — прогрессия невозможна.

в) Пусть первые 8 членов — $b,bq,\dots,bq^7$, $q$ — целое, $q\ge2$ (числа разные и возрастают). Сумма геометрической прогрессии $S_8=b\dfrac{q^8-1}{q-1}=b(1+q)(1+q^2)(1+q^4)$, и она равна $103\cdot994=103\cdot71\cdot7\cdot2$ — произведению четырёх простых чисел. Проверка показывает, что $q^2$ и $q^4$ не могут равняться $1,6,70$ или $102$ (это не квадраты и не четвёртые степени), поэтому множители $(1+q^2)$ и $(1+q^4)$ не могут состоять только из одного простого числа — каждому нужно хотя бы два множителя из набора $\{2,7,71,103\}$. Но всего простых множителей только четыре, значит все они уйдут на эти два множителя, а на $(1+q)$ ничего не останется — получится $q+1=1$, то есть $q=0$, что противоречит условию $q\ge2$. Значит такая прогрессия невозможна.