Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Пусть исходное число $\overline{abcd}$, $a,b,c,d\in\{1,\dots,9\}$. После сдвига первой цифры получаем $\overline{bcda}$. Их сумма равна 2728. Разбор по разрядам: старший разряд суммы равен 2, а его дают именно $a+b$ (плюс возможный перенос); так как $a,b\ge1$, единственная возможность без появления пятого разряда — $a=b=1$. Последняя цифра суммы равна 8: она получается как $d+a=d+1$, откуда $d=7$. Подбирая оставшиеся разряды с учётом переносов, получаем $c=5$. Проверка: $1157+1571=2728$ — пример существует.

б) Для $\overline{abcde}$ сумма с результатом сдвига раскладывается по разрядам: $$\overline{abcde}+\overline{bcdea}=10001a+11000b+1100c+110d+11e=11(909a+1000b+100c+10d+e)+2a.$$ Всё, кроме члена $2a$, кратно 11, а $2a$ при $a=1,\dots,9$ принимает значения от 2 до 18 и никогда не делится на 11. Значит сама сумма никогда не делится на 11. Проверим 83347: сумма цифр по чередующимся знакам равна $8-3+3-4+7=...$ фактически даёт кратное 11 значение, то есть 83347 делится на 11. Так как построенная сумма делиться на 11 не может, равенство невозможно.

в) Пусть исходное число $\overline{925abc}$. После сдвига первой цифры — $\overline{25abc9}$. Складывая по разрядам: $$\overline{925abc}+\overline{25abc9}=1175009+11(100a+10b+c)=11\left(106819+\overline{abc}\right).$$ Множитель 11 уже есть, поэтому для делимости суммы на $99=9\cdot11$ нужно, чтобы $106819+\overline{abc}$ делилось на 9. Сумма цифр 106819 равна 25, остаток от деления на 9 равен 7, значит нужно $\overline{abc}\equiv2\pmod9$. Так как $100\equiv10\equiv1\pmod9$, это равносильно $a+b+c\equiv2\pmod9$. При $a,b,c\in\{1,\dots,9\}$ сумма лежит в $[3,27]$, поэтому подходят только суммы 11 и 20. Для каждой из $9\times9=81$ пар $(a,b)$ третья цифра $c$ определяется однозначно ($c=11-a-b$, если $a+b<11$, иначе $c=20-a-b$) и всегда попадает в диапазон $[1,9]$. Значит подходящих чисел ровно 81.