Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Сумма имеет вид $S=\sum_{i=1}^{10}2^i\cdot 3^{k_i}$, где $(k_i)$ — некоторая перестановка чисел $1,\dots,10$. Все слагаемые, где показатель тройки $k_i\ge2$, делятся на $9$. Единственное слагаемое, где показатель тройки равен $1$, имеет вид $2^i\cdot3$ и делится на $3$, но не на $9$ (так как $2^i$ не делится на $3$). Значит вся сумма не делится на $9$.

б) Достаточно показать, что сумма может стать больше миллиона. Возьмём пару с максимальными числами: $2^{10}\cdot3^{10}=1024\cdot59049>1\,000\,000$. Так как остальные слагаемые неотрицательны, вся сумма тем более превышает миллион.

в) По правилу перестановок (аналог неравенства о перестановках) сумма произведений двух последовательностей минимальна, когда одна из них возрастает, а другая — убывает. Значит наименьшую сумму даёт разбиение, где наименьшее число из первого набора ставится в пару с наибольшим числом из второго, следующее по величине — со следующим по величине и так далее: $$S_{\min}=2^1\cdot3^{10}+2^2\cdot3^{9}+\dots+2^{10}\cdot3^{1}=\sum_{i=1}^{10}2^i3^{11-i}.$$ Это геометрическая прогрессия с отношением $2/3$. Вычислим: $$T=\sum_{i=1}^{10}2^i3^{10-i}=3^{10}\sum_{i=1}^{10}\left(\frac23\right)^i=3^{10}\cdot2\left(1-\left(\frac23\right)^{10}\right)=2\cdot3^{10}-2^{11}.$$ Тогда $$S_{\min}=3T=6\cdot3^{10}-3\cdot2^{11}=6\cdot3^{10}-6\cdot2^{10}=6\left(3^{10}-2^{10}\right).$$ Это и есть наименьшее возможное значение суммы.