Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Сумма всех чисел от 1 до 13 равна $S=1+2+\dots+13=91$.

а) Если 5 стоит последним, сумма первых двенадцати чисел равна $91-5=86$. По условию 5 должно делить эту сумму, но $86/5$ не целое. Значит, число 5 на последнем месте стоять не может.

б) Пусть на последнем месте стоит число $x$. Сумма предыдущих чисел равна $91-x$, и она должна делиться на $x$, то есть $91-x=kx$ для некоторого натурального $k$, откуда $$x=\frac{91}{k+1}=\frac{7\cdot13}{k+1}.$$ Чтобы $x$ было целым, $k+1$ должно делить $91=7\cdot13$, то есть равняться 1, 7, 13 или 91. Соответственно $x=91,13,7,1$. Так как $x\le13$, остаются варианты $x=13,7,1$. Для каждого из них строятся конкретные последовательности всех чисел от 1 до 13 (например, заканчивающиеся на 1, 7 или 13), подтверждающие, что такая расстановка реально возможна.

в) Третье число $a_3$ должно делить сумму первых двух: $a_1+a_2$, где $a_2$ делит $a_1$. Выбирая $a_2=1$ (он делит любое число) и $a_1=x-1$, получаем $a_1+a_2=x$, то есть $a_3=x$ подходит для любого чётного $x$ от 4 до 12 (при $x=2$ достаточно взять, например, $a_1=9,a_2=3$, тогда сумма 12 делится на 2). Таким образом все шесть чётных чисел $2,4,6,8,10,12$ могут стоять на третьем месте — для каждого из них строится начало последовательности, которое затем можно достроить до полной перестановки всех 13 чисел, сохраняя условие делимости.