Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Дробь $\frac{n!}{8}$ будет натуральной, когда $n!$ делится на $8=2^3$. При $n=1,2,3$ имеем $1!=1,\;2!=2,\;3!=6$ — ни одно из них не делится на 8. При $n=4$ получаем $4!=24=8\cdot3$, то есть уже делится, а при увеличении $n$ в произведении появляются новые чётные множители, и делимость на 8 сохраняется. Значит, наибольшее $n$, при котором дробь не натуральна, — $n=3$.

б) Используем разложение $(n+2)! = n!\,(n+1)(n+2)$. Тогда неравенство $$(n+2)! - 42n! = n!\big[(n+1)(n+2)-42\big] < 0.$$ Поскольку $n!>0$, знак определяется вторым множителем: нужно $(n+1)(n+2)<42$. При $n=4$: $5\cdot6=30<42$ — верно. При $n=5$: $6\cdot7=42$ — уже не меньше 42. Значит, наибольшее решение $n=4$.

в) Вынесем общий множитель: $(n!)^2-12n! = n!\,(n!-12)$. Если $n\ge13$, то $n!$ содержит множитель 13, и всё произведение делится на 13 — такие $n$ не подходят. Проверим $n=12$: по теореме Вильсона $12! \equiv -1 \pmod{13}$, тогда $12!-12\equiv -1-12=-13\equiv0\pmod{13}$ — делится, значит $n=12$ тоже не годится. При $n=11$: из $12!=12\cdot11!\equiv-1\pmod{13}$ и $12\equiv-1\pmod{13}$ следует $11!\equiv1\pmod{13}$. Тогда $11!-12\equiv1-12=-11\equiv2\pmod{13}\neq0$, и сам $11!$ не делится на 13 (13 не входит в произведение). Значит произведение $11!\,(11!-12)$ не делится на 13 — условие выполнено. Так как для всех $n\ge12$ делимость есть, наибольшее подходящее $n=11$.