Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Число $\dfrac{n!}{8}$ не натуральное означает, что $n!$ не делится на 8, то есть на $2^3$. Уже при $n=4$ среди множителей произведения есть 2 и 4, а $2\cdot4=8$, значит $4!=24$ делится на 8, и для всех $n\ge4$ делимость сохраняется. При $n=3$: $3!=6$, не делится на 8. Значит наибольшее подходящее $n=3$.

б) Раскроем $(n+2)!=(n+2)(n+1)\cdot n!$. Тогда $$(n+2)!-42n!=n!\big[(n+1)(n+2)-42\big]=n!(n^2+3n-40)=n!(n+8)(n-5).$$ Так как $n!>0$ и $n+8>0$ при всех натуральных $n$, знак выражения определяется множителем $(n-5)$. Неравенство $<0$ выполняется, когда $n-5<0$, то есть $n<5$. Наибольшее натуральное такое $n=4$.

в) Запишем $(n!)^2-12n!=n!(n!-12)$. Если $n\ge13$, то среди множителей $n!$ есть 13, значит всё произведение делится на 13 — такие $n$ не подходят. Рассмотрим $n<13$. По теореме Вильсона $12!\equiv-1\equiv12\pmod{13}$, поэтому $12!-12\equiv0$, и при $n=12$ произведение делится на 13 (не подходит).

Для $n=11$ используем $11!=\dfrac{12!}{12}$. Так как $12\equiv-1\pmod{13}$, обратный элемент к $12$ — тоже $-1$, значит $11!\equiv12\cdot(-1)\equiv-12\equiv1\pmod{13}$. Тогда $11!-12\equiv1-12\equiv-11\equiv2\pmod{13}\ne0$, а сам $11!$ не делится на 13 (т.к. $11<13$). Следовательно, произведение $11!(11!-12)$ не делится на 13 — условие выполнено, и это наибольшее подходящее $n=11$.