Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть числа $a,b,c,d,e,f$. Последовательно вычисляя средние арифметические, получаем $$M=\frac{a+b+2c+4d+8e+16f}{32},\qquad A=\frac{a+b+c+d+e+f}{6}.$$

а) Приравняем $A=M$: $16(a+b+c+d+e+f)=3(a+b+2c+4d+8e+16f)$, то есть $13a+13b+10c+4d=8e+32f$. Взяв $a=1,b=7,c=8,d=2$, левая часть равна $192$, и подойдут $e=12,f=3$ (все числа различны). Значит, равенство возможно.

б) Условие $M=6A$ даёт $a+b+2c+4d+8e+16f=32(a+b+c+d+e+f)$, то есть $31a+31b+30c+28d+24e+16f=0$. Все слагаемые положительны (числа натуральные), сумма нулю равняться не может — равенство невозможно.

в) Заметим, что в числителе $M$ каждый коэффициент ($1,1,2,4,8,16$) не превосходит $16$, причём хотя бы один строго меньше. Поэтому $$M=\frac{a+b+2c+4d+8e+16f}{32}<\frac{16(a+b+c+d+e+f)}{32}=3A.$$ Если $M=nA$, то $n<3$, значит $n\le 2$. Проверим $n=2$: $M=2A$ равносильно $16f=29a+29b+26c+20d+8e$. Возьмём $a=1,b=15$ (сумма делится на $16$), $c=8$, $d=4$, $e=2$ — тогда правая часть $=464+208+80+16=768$, откуда $f=48$. Все шесть чисел различны, значит $n=2$ достижимо, и это наибольшее возможное значение.