Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Признак делимости на 11: число делится на 11, если разность суммы цифр на нечётных местах и суммы цифр на чётных местах делится на 11. У симметричного числа с чётным числом цифр цифра, стоящая на $k$-м месте слева, равна цифре на $k$-м месте справа, а эти позиции имеют разную чётность (при чётном общем количестве цифр). Значит набор цифр на нечётных местах — это в точности набор цифр на чётных местах (только переставленный). Суммы равны, их разность равна 0, а 0 делится на 11. Значит такие числа всегда кратны 11.

б) Пусть трёхзначное число — $a$. Приписывание того же числа справа даёт $1000a+a=1001a=7\cdot11\cdot13\cdot a$. Чтобы это было точным квадратом, каждый простой множитель должен входить в чётной степени. Так как $a<1000<7\cdot11\cdot13=1001$, число $a$ не может одновременно делиться на 7, 11 и 13 — хотя бы один из этих множителей войдёт в разложение $1001a$ в нечётной степени. Значит квадратом число быть не может.

в) Шестизначное симметричное число имеет вид $\overline{xyzzyx}$, где $x\neq0$. Тогда $$N=100001x+10010y+1100z.$$ Заметим, что $100001=77\cdot1298+55$, $10010=77\cdot130$, $1100=77\cdot14+22$, поэтому $$N=77(1298x+130y+14z)+55x+22z=77(1298x+130y+14z+x)+22(z-x).$$ Первая часть всегда делится на 77, значит и $22(z-x)$ должно делиться на 77, то есть $2(z-x)$ должно делиться на 7, а так как $2$ и $7$ взаимно просты, $z-x$ делится на 7. Подходящие пары $(x,z)$: одинаковые цифры ($x=z$, 9 вариантов) и пары с разностью $\pm7$: $(1,8),(2,9),(7,0),(8,1),(9,2)$ — ещё 5 вариантов, всего 14 пар. Цифра $y$ произвольна (10 вариантов). Итого $14\cdot10=140$ чисел.