Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Если $n$ делится на $10$, то $n=2^a5^b\cdot k$, значит в его ДНК обязательно входят числа $2$ и $5$. Симметричное число $m$ получается перестановкой цифр в обратном порядке. Поскольку $n$ кончается на $0$, то у $m$ этот $0$ стоял бы первым — а такие нули отбрасываются, значит последней цифрой $m$ становится первая (ненулевая) цифра $n$, то есть $m$ не кратно $10$, а значит не делится на $5$ (или на $2$) одновременно. Если бы $m$ было родственно $n$, у него должны быть те же простые делители $2,5$, то есть $m$ должно делиться на $10$ и кончаться на $0$ — противоречие с тем, что $m$ не оканчивается на $0$. Значит родственных пар нет.

б) Пусть первая цифра $n$ равна $x$, последняя $y$, причём $x+y=13$. Так как $13$ нечётно, одна из цифр чётна, другая нечётна, и обе не равны $0$ (иначе сумма не достигла бы $13$). При перестановке цифр местами эти же цифры становятся последними цифрами $n$ и $m$ соответственно. Число с чётной последней цифрой делится на $2$, значит $2$ входит в его ДНК; число с нечётной последней цифрой на $2$ не делится, и $2$ в его ДНК нет. Значит ДНК чисел $n$ и $m$ различаются — родственных пар быть не может.

в) Нужно найти границы для составных трёхзначных чисел без трёхзначных «родственников».

Минимум. Если составное число меньше $121$, то у него есть простой делитель $p\le7$. Умножив число на $p$, получим трёхзначное число (так как $120\cdot7<1000$) с тем же набором простых делителей — то есть родственное число найдётся. У числа $121=11^2$ ДНК состоит только из $\{11\}$; такие же ДНК только у степеней $11$: $11^1=11$ (двузначное) и $11^3=1331$ (четырёхзначное) — трёхзначных родственников нет. Значит минимум — $121$.

Максимум. Число $999=3^3\cdot37$ родственно $111=3\cdot37$, поэтому не подходит. Для $998=2\cdot499$ проверим простоту $499$: оно не делится ни на одно простое число до $\sqrt{499}<23$, значит $499$ простое. ДНК числа $998$ — $\{2,499\}$; любое другое число с такими же множителями делится и на $2$, и на $499$, то есть кратно $998$, а следующее такое число $1996$ уже четырёхзначное. Значит родственников у $998$ нет, и это максимальное такое число.