Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём числа 6 и 7 (произведение соседних натуральных) — $m=6\cdot7=42$, и числа 6 и 8 (соседние чётные) — $n=6\cdot8=48$. Тогда $|m-n|=|42-48|=6$, значит равенство возможно.

б) Произведение двух соседних натуральных чисел всегда чётно, так как одно из множителей чётно. Произведение двух соседних чётных чисел тоже чётно (даже делится на 4). Значит и $m$, и $n$ — чётные, поэтому их разность $|m-n|$ обязательно чётна. Число 13 нечётно, следовательно оно не может быть значением $|m-n|$.

в) Из пункта б) уже известно, что $|m-n|$ чётно. Проверим, может ли оно быть равно нулю. Пусть $m=x(x+1)$, $n=y(y+2)$ и $m=n$. Тогда $x^2+x=y^2+2y$, то есть $x^2+x+1=(y+1)^2$. Отсюда получаем неравенства $x<y+1<x+1$ (проверяется через сравнение квадратов), но между двумя соседними натуральными числами $x$ и $x+1$ не может лежать целое число $y+1$ — противоречие. Значит $|m-n|\ne0$, а так как оно чётно, минимальное возможное значение — 2.

Теперь покажем, что любое чётное $k$ достижимо. Пусть $n$ — произвольное чётное натуральное число. Возьмём у Коли числа $n$ и $n+1$: $m=n(n+1)$. У Вовы возьмём числа $n$ и $n+2$ (оба чётные, соседние чётные числа): $n_{\text{Вовы}}=n(n+2)$. Тогда $$n(n+2)-n(n+1)=n(n+2-n-1)=n.$$ Так как $n$ — любое чётное натуральное число, разность $|m-n|$ может принять любое чётное натуральное значение.

Следовательно, множество возможных значений — все чётные натуральные числа.