Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Если рейтинг округляется до 33, то реальная доля голосов должна лежать в полуинтервале $[32{,}5;33{,}5)$ процентов, то есть $$0{,}325\le\frac{k}{14}<0{,}335,$$ где $k$ — целое число голосов за этого футболиста. Отсюда $4{,}55\le k<4{,}69$. Целых чисел в этом промежутке нет, значит такой рейтинг невозможен.

б) Нужно подобрать пример, где сумма округлённых долей превышает 100%. Возьмём всего 200 голосов: два футболиста получают по 1 голосу, третий — 198. Тогда доли равны $0{,}5\%,\,0{,}5\%,\,99\%$. При стандартном округлении $0{,}5$ округляется до $1$, поэтому рейтинги равны $1,\,1,\,99$, и сумма $1+1+99=101>100$. Значит, ответ — да.

в) Пусть без Васиного голоса было $n$ голосов, из них $k$ — за нужного футболиста. Условие "рейтинг равен 6 до и после голоса" означает, что доля $k/n$ и доля $(k+1)/(n+1)$ обе попадают в полуинтервал $[0{,}055;0{,}065)$ (границы округления до 6). Записав оба неравенства и вычтя их, получаем условие на $n$: $0{,}055n\le k<0{,}065n-0{,}935$. Чтобы такой целый $k$ существовал, нужно $0{,}055n<0{,}065n-0{,}935$, то есть $n>93{,}5$, значит $n\ge94$.

Проверка малых $n$ показывает, что первое целое $k=6$ становится возможным только при $0{,}065n-0{,}935>6$, откуда $n>106\frac{9}{13}$, то есть $n\ge107$. При $n=107$: $0{,}055\cdot107=5{,}885<6\le0{,}065\cdot107-0{,}935=5{,}0?$ — проверяя точнее, получаем, что $k=6$ удовлетворяет условиям, значит $n=107$ подходит.

Общее число голосов, включая Васин, равно $n+1=107+1=108$.