Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Рейтинг — это округлённая доля голосов в процентах. Если за футболиста проголосовало $k$ из 13 человек, рейтинг равен 31, значит $\frac{100k}{13}$ округляется до 31, то есть лежит в промежутке $[30{,}5;31{,}5)$. Проверяем целые $k$: при $k=4$ получаем $\frac{400}{13}\approx30{,}77$ — попадает в диапазон, а при $k=3$ и $k=5$ значения 23 и 38 — не подходят. Значит без Васи за футболиста было отдано 4 голоса из 13. После голоса Васи стало 5 голосов из 14: $\frac{5\cdot100}{14}\approx35{,}7$, округление даёт 36.

б) Нужно показать пример, где сумма двух округлённых долей превышает 100%. Берём общее число голосов $n=20000$, за первого — 9900 (доля $49{,}5\%\to50$), за второго — 10100 (доля $50{,}5\%\to51$). Сумма рейтингов $50+51=101>100$ — значит ответ да.

в) Пусть после голоса Васи за футболиста $k$ голосов из $n$, а до голоса Васи — $k-1$ из $n-1$. По условию: $$6{,}5\le\frac{100(k-1)}{n-1}<7{,}5,\qquad 8{,}5\le\frac{100k}{n}<9{,}5.$$ Переводим в целочисленные неравенства ($200k$ — общий множитель): $$13(n-1)\le200k-200<15(n-1),\qquad 17n\le200k<19n.$$ Складывая крайние неравенства этих двух пар (заменяя строгие на нестрогие с поправкой на 1, так как всё целочисленно), получаем $17n\le15(n-1)+199$, откуда $n\le92$. Подставляя это ограничение в неравенство $200k-200<15(n-1)$, получаем $k<7{,}825$, то есть $k\le7$. Теперь из $17n\le200k\le1400$ получаем $n\le82{,}35...$, значит $n\le82$. Проверяем достижимость: при $n=82,\ k=7$: доля после Васи $\frac{7}{82}\cdot100\approx8{,}54\to9$ — верно; доля до Васи $\frac{6}{81}\cdot100\approx7{,}41<7{,}5\to7$ — верно. Значит максимум достигается, ответ 82.