Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Обозначим сторону квадрата $a$, тогда ширина прямоугольника равна $x=a-2$, а длина находится из равенства площадей: $x\cdot l=a^2$, то есть $l=\dfrac{a^2}{a-2}$.

Преобразуем это выражение делением с остатком: $a^2=(a-2)(a+2)+4$, поэтому $$l=a+2+\dfrac{4}{a-2}.$$ Чтобы длина $l$ была целым числом, дробь $\dfrac{4}{a-2}$ должна быть целой — значит $a-2$ должно быть натуральным делителем числа 4, то есть $a-2\in\{1,2,4\}$.

а) Если ширина $a-2=6$, то $6$ не делит $4$, дробь $\dfrac{4}{6}$ не целая — длина прямоугольника не будет целым числом. Значит, такой вариант невозможен: ответ «нет».

б) Проверим, можно ли получить длину $9$. При $a-2=1$ ($a=3$) получаем $l=3+2+4=9$ — подходит. Значит, ответ «да»: прямоугольник $1\times9$ и квадрат $3\times3$ (можно и другой набор с длиной 9 — см. пункт в).

в) Перебираем все допустимые значения $a-2$:

• $a-2=1\Rightarrow a=3$: $l=3+2+4=9$. Пара: квадрат $3\times3$, прямоугольник $1\times9$.
• $a-2=2\Rightarrow a=4$: $l=4+2+2=8$. Пара: квадрат $4\times4$, прямоугольник $2\times8$.
• $a-2=4\Rightarrow a=6$: $l=6+2+1=9$. Пара: квадрат $6\times6$, прямоугольник $4\times9$.

Эти три случая исчерпывают все делители числа 4, значит других решений нет.