Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общее преобразование. Запишем все числа через цифры: $\overline{ab}=10a+b,\ \overline{ba}=10b+a,\ \overline{cd}=10c+d,\ \overline{dc}=10d+c$.

Раскрываем произведение: $$\overline{ab}\cdot\overline{cd}-\overline{ba}\cdot\overline{dc}=(10a+b)(10c+d)-(10b+a)(10d+c).$$ При раскрытии скобок все члены, содержащие $ad$ и $bc$, взаимно уничтожаются, остаются только $ac$ и $bd$ с коэффициентом $99$: $$=99(ac-bd).$$

а) Нужно $99(ac-bd)=198$, то есть $ac-bd=2$. Подходят, например, $a=1,b=2,c=8,d=3$: $1\cdot8-2\cdot3=8-6=2$ — все цифры различны и не равны нулю. Значит такие цифры существуют.

б) Условие $99(ac-bd)=495$ даёт $ac-bd=5$. Так как среди $a,b,c,d$ есть цифра 5, она стоит либо в произведении $ac$, либо в $bd$. Тогда это произведение делится на 5, а раз разность $ac-bd=5$ тоже кратна 5, второе произведение обязано делиться на 5 — то есть среди оставшихся цифр снова должна быть цифра 5 (единственная цифра от 1 до 9, дающая делимость на 5). Но тогда цифра 5 встречается два раза, что противоречит попарной различности цифр. Значит равенство невозможно.

в) Так как $\overline{ba},\overline{ab},\overline{cd},\overline{dc}$ — двузначные числа, все цифры $a,b,c,d$ ненулевые (от 1 до 9). Нужно максимизировать $99(ac-bd)$, то есть сделать $ac$ максимальным, а $bd$ минимальным, при условии, что среди четырёх цифр присутствуют 5 и 6.

Если поместить обе «обязательные» цифры 5 и 6 в множитель $bd$, то $a$ и $c$ можно взять максимально возможными — по 9, получая $ac=81$. При этом $bd=5\cdot6=30$ — это наименьшее возможное значение произведения, содержащего именно эти две цифры. Любые другие варианты размещения 5 и 6 (например, одна из них в $a$ или $c$) уменьшают $ac$ больше, чем экономят на $bd$, поэтому дают меньшую разность (проверка перебором подтверждает это).

Таким образом, $ac-bd=81-30=51$, и $$99\cdot51=5049.$$