Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Сумма чисел записывается как $\overline{abc}+\overline{cba}=(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=101(a+c)+20b$. Нужно подобрать цифры так, чтобы это равнялось 1595. Возьмём $a+c=15$ (например $a=9,\ c=6$) и $b=4$: $101\cdot15+20\cdot4=1515+80=1595$. Проверка: $946+649=1595$ — подходит, значит такие цифры существуют.

б) Из $3\overline{abc}=5\overline{cba}$ правая часть делится на 5, значит и $\overline{abc}$ делится на 5, то есть $c=0$ или $c=5$. Но $c=0$ невозможно — тогда $\overline{cba}$ начиналось бы с нуля. Значит $c=5$. Подставив $c=5$ в равенство и раскрыв скобки, получаем $295a-20b=2485$, то есть $59a-4b=497$. При $a\le8$ левая часть не превышает $472<497$, значит $a=9$. Тогда $4b=59\cdot9-497=34$ — не делится на 4, целого $b$ нет. Значит решений нет.

в) Запишем $\dfrac{\overline{abc}}{\overline{cba}}=1+\dfrac{99(a-c)}{100c+10b+a}$. Чтобы дробь была максимальной, нужно максимизировать числитель и минимизировать знаменатель, при этом среди цифр обязательно есть 6. Рассмотрев все три случая — $c=6$, $b=6$, $a=6$ — сравнением дробей $\frac{99\cdot3}{600}<\frac{99\cdot8}{169}$ и $\frac{99\cdot5}{106}<\frac{99\cdot8}{169}$ видно, что наибольшее значение даёт случай $b=6$, при $a=9,\ c=1$: $\dfrac{961}{169}=5\dfrac{116}{169}$.