Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Обозначим числа Васи $x_1,\dots ,x_n$, лист выглядит как $x_1,\dots ,x_n,x_1,\dots ,x_n$. Любая тройка подряд идущих чисел, которую можно спросить, — это циклическая сумма $s_i=x_i+x_{i+1}+x_{i+2}$ (индексы берутся по модулю $n$), причём из‑за периодичности других сумм нет: всего их ровно $n$.

а) $n=5$. Так как $\gcd(3,5)=1$, набор из всех пяти сумм $s_1,\dots ,s_5$ даёт достаточно информации. Сложив их, получаем $3(x_1+\dots+x_5)$, делим на 3 — узнаём полную сумму $S=x_1+\dots+x_5$. Вычитая из $S$ известную сумму $x_1+x_2+x_3$, находим $x_4+x_5$; вычитая это из $x_4+x_5+x_1$, находим $x_1$, и так далее сдвигом получаем все числа. Значит, Маша выигрывает за 5 ходов.

б) $n=9$. Здесь $\gcd(3,9)=3$, и все девять сумм могут совпадать у разных последовательностей. Например, у последовательности из девяти двоек все суммы равны 6, и у последовательности $2,1,3,2,1,3,2,1,3$ тоже все суммы равны 6. Так как других вопросов, кроме этих девяти сумм, у Маши нет, она не может отличить эти два случая — значит, гарантированно выиграть нельзя.

в) $n=22$. Тут $\gcd(3,22)=1$, поэтому, как в пункте а), зная все 22 суммы, можно восстановить все числа: сложив все $s_i$, получим $3\sum x_i$, отсюда полную сумму, а затем последовательным вычитанием — каждое $x_i$. Значит, 22 ходов достаточно.

Показываем, что меньше нельзя: если Маша не спросит хотя бы одну сумму, скажем $x_{22}+x_1+x_2$, то существуют две разные последовательности, дающие одинаковые все остальные 21 сумму, но разные значения этой суммы. Возьмём $x_i=0$ для всех $i$ (все суммы нулевые) и $y$ — семь повторений блока $(-1,-1,2)$ (21 число) плюс ещё $-1$ (22‑е число). Тогда все «обычные» тройки $y$ дают сумму 0, а $y_{22}+y_1+y_2=-1-1-1=-3\ne 0$. Таким образом, без этой суммы последовательности неразличимы, и 21 хода недостаточно. Отсюда минимальное число ходов — 22.