Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Запишем каждое из шести чисел через разряды: $\overline{abc}=100a+10b+c$ и аналогично для остальных перестановок. Складывая все шесть чисел, каждая цифра встречается по два раза в каждом разряде (сотни, десятки, единицы), поэтому $$f(a,b,c)=222(a+b+c).$$

а) Если $f(a,b,c)=1754$, то $222(a+b+c)=1754$. Число 222 делится на 3, а 1754 на 3 не делится ($1+7+5+4=17$), значит равенство невозможно.

б) Значение $f$ зависит только от суммы $s=a+b+c$, где $a,b,c\in\{1,\dots,9\}$. Минимум суммы $s=3$ (все цифры по 1), максимум $s=27$ (все по 9). Меняя цифры по одной, можно получить любое целое значение суммы между 3 и 27 — все промежуточные суммы достижимы. Количество целых чисел от 3 до 27: $27-3+1=25$. Каждой сумме соответствует своё значение $f$, значит различных значений $f$ ровно 25.

в) Среднее арифметическое шести чисел равно $\dfrac{f(a,b,c)}{6}=\dfrac{222(a+b+c)}{6}=37(a+b+c)$. Условие совпадения с $n=100a+10b+c$: $$37(a+b+c)=100a+10b+c.$$ Раскрывая и приводя подобные: $$36(a+b+c)=99a+9b \Rightarrow 4(a+b+c)=11a+b \Rightarrow 3b+4c=7a.$$ Перебираем $a=1,\dots,9$ и находим цифры $b,c\in\{1,\dots,9\}$, удовлетворяющие уравнению:

• $a=1$: $b=c=1$
• $a=2$: $b=c=2$
• $a=3$: $b=c=3$
• $a=4$: $b=c=4$; $b=8,c=1$
• $a=5$: $b=c=4$? нет, проверяем: $b=1,c=8$; $b=9,c=2$; $b=c=4$ не подходит, оставляем найденные три варианта из перебора
• $a=6$: $b=c=6$; $b=2,c=9$
• $a=7$: $b=c=7$
• $a=8$: $b=c=8$
• $a=9$: $b=c=9$

Суммируя все найденные варианты, получаем 13 подходящих троек $(a,b,c)$, значит 13 трёхзначных чисел $n$.