Системы с параметром в задании 18 ЕГЭ: метод и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 18 периодически предлагает не одно уравнение с параметром, а систему из двух уравнений (иногда с неравенствами), где нужно найти все значения параметра $a$, при которых система обладает нужным свойством: имеет решения, не имеет решений, имеет единственное решение, имеет ровно два решения и т.п. Отличие от «одиночного» уравнения с параметром в том, что нужно совместно анализировать оба условия и следить, как одно уравнение (обычно не содержащее $a$) задаёт некоторое множество точек на плоскости — объединение прямых или кривых с ограничениями по области определения, а второе (обычно линейное относительно $x,y$ и содержащее $a$) задаёт семейство прямых. Задача сводится к геометрическому подсчёту числа пересечений семейства прямых с этой фигурой.

Что нужно знать

• ОДЗ первого уравнения нужно находить явно: корни, знаменатели, логарифмы дают ограничения на $x$ и $y$, которые «вырезают» часть плоскости.
• Умение разложить квадратное относительно $y$ (или $x$) выражение на множители: $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1,y_2$ могут зависеть от $x$. Часто дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю (а знаменатель определён и не равен нулю) — тогда первое уравнение сворачивается в объединение простых линий вида $y=x-2$ или $y=3$.
• Умение переходить от дробного уравнения $\frac{f(x,a)}{g(x,y)}=1$ к $f(x,a)=g(x,y)$ с обязательным условием $g(x,y)\ne0$, которое нужно проверить у полученных решений отдельно.
• Понимание, что второе уравнение вида $x+y=a$ или $y=a(x-6)$ — это семейство прямых: первое задаёт прямые с угловым коэффициентом $-1$, сдвигающиеся вдоль диагонали при изменении $a$; второе — пучок прямых через фиксированную точку при разных наклонах $a$.
• Умение считать число пересечений прямой семейства с каждой частью фигуры как функцию параметра и отдельно отслеживать значения $a$, при которых две точки пересечения совпадают — тогда реальное число решений уменьшается.
• Аккуратная работа со строгими и нестрогими неравенствами в ОДЗ: важно, входит ли граничная точка в ответ.

Как решать: метод и алгоритм

1. Найти ОДЗ переменных $x$ и $y$ из более сложного уравнения: корни, знаменатели, области определения функций.
2. Свернуть это уравнение к более простому виду — как правило оно распадается на объединение двух-трёх линий с указанием, на каком множестве они действуют, с учётом ОДЗ.
3. Второе уравнение выразить как явную зависимость $y=kx+b(a)$ или $x+y=a$, отдельно зафиксировав условия равносильности перехода.
4. Мысленно (или на черновике) построить картинку: фигура из шага 2 и семейство прямых из шага 3, зависящее от $a$.
5. Для каждой части фигуры найти условие на $a$, при котором прямая семейства её пересекает, и координаты точки пересечения как функцию $a$.
6. Найти значения $a$, при которых точки пересечения с разными частями фигуры совпадают — это критические значения параметра, где меняется число решений.
7. Составить итоговый подсчёт числа различных точек по промежуткам $a$ и выбрать нужные промежутки согласно условию задачи.
8. Перепроверить граничные точки отдельно, подставляя точное значение $a$.

Разбор примера

Пример 1. Найти все $a$, при которых система $$\frac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0,\qquad x+y-a=0$$ имеет ровно два различных решения.

ОДЗ. Нужно $x+2\ge0$ и $6-x>0$, значит $x\in[-2;6)$.

Свёртка. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. При $x=-2$ множитель $\sqrt{x+2}=0$, и уравнение выполняется для любого $y$. При $x>-2$ нужно $y^2-xy+3x-y-6=0$, раскладываем: $y^2-y(x+1)+3x-6=(y-3)(y-x+2)=0$, значит $y=3$ или $y=x-2$.

Итог: множество решений первого уравнения на $x\in[-2;6)$ — объединение трёх линий: прямая $x=-2$ (точки A), прямая $y=3$ (точки B), прямая $y=x-2$ (точки C).

Второе уравнение — прямая $y=a-x$.

Пересечения. С $x=-2$: точка $A=(-2,a+2)$ существует всегда. С $y=3$: $x=a-3$, нужно $a-3\in[-2;6)$, то есть $a\in[1;9)$; $B=(a-3,3)$. С $y=x-2$: $x=\frac{a+2}{2}$, нужно $\frac{a+2}{2}\in[-2;6)$, то есть $a\in[-6;10)$; $C=\left(\frac{a+2}{2},\frac{a-2}{2}\right)$.

Совпадения. $A=B$ при $a=1$; $A=C$ при $a=-6$; $B=C$ при $a=8$ (проверяется подстановкой координат).

Подсчёт по промежуткам. $a<-6$: только A — 1. $a=-6$: A=C — 1. $-6<a<1$: A и C различны — 2. $a=1$: A=B, отдельно C — 2. $1<a<8$: три разные точки — 3. $a=8$: B=C, отдельно A — 2. $8<a<9$: три разные точки — 3. $9\le a<10$: B не существует, остаются A и C — 2. $a\ge10$: C не существует, только A — 1.

Ровно два решения при $a\in(-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)$.

Пример 2 (короче). Система $$y(y-7)=xy-5(x+2),\ x\le6;\qquad \frac{a(x-6)-2}{y-2}=1.$$

Первое уравнение приводится к $(y-5)(y-x-2)=0$, то есть $y=5$ или $y=x+2$ на $x\le6$. Второе равносильно $y=a(x-6)$ при обязательном $y\ne2$.

Ветка $y=5$: из $5=a(x-6)$ при $a\ne0$ получаем $x=6+\frac{5}{a}$; условие $x\le6$ даёт $a<0$. Одно решение при $a<0$.

Ветка $y=x+2$: из $x+2=a(x-6)$ получаем $x=\frac{6a+2}{a-1}$ ($a\ne1$); условие $x\le6$ сводится к $\frac{8}{a-1}\le0$, то есть $a<1$; дополнительно $y\ne2$ исключает $x=0$, то есть $a=-\frac13$. Одно решение при $a<1,\ a\ne-\frac13$.

Точки веток совпадают при $x=3$, что даёт $a=-\frac53$.

Собираем: при $a\ge1$ решений нет; при $0\le a<1$ работает только вторая ветка — одно решение; при $a=-\frac13$ работает только первая ветка — одно решение; при $a=-\frac53$ обе ветки дают одну точку — одно решение; при остальных $a<0$ работают обе ветки и дают два решения. Итог: $a\in\left\{-\frac53;-\frac13\right\}\cup[0;1)$.

Типичные ошибки

• Забыть найти ОДЗ первого уравнения и потерять ограничение вида $x<6$ или $x\ge-2$, из-за чего лишние точки пересечения ошибочно засчитываются как решения.
• При переходе от $\frac{f}{g}=1$ к $f=g$ забыть про условие $g\ne0$ и не исключить точки, где знаменатель обращается в ноль.
• Не проверить совпадение точек пересечения разных частей фигуры при частных значениях $a$ — тогда число решений считается неверно именно в критических точках.
• Перепутать строгие и нестрогие неравенства ОДЗ при определении, входит ли граничное значение $a$ в ответ.
• Ошибиться со знаком при разложении квадратного выражения на множители — стоит перемножить обратно и проверить тождество на контрольном значении.
• Посчитать одну и ту же точку $(x,y)$ дважды, если она получилась из двух разных «веток» уравнения.

На что обратить внимание на экзамене

Перед подсчётом решений явно выпишите ОДЗ и разложение первого уравнения на простые части — это самый частый источник потери баллов. Рисуйте на черновике полученную фигуру и семейство прямых параметра — картинка почти всегда подсказывает, где искать критические значения $a$. Отдельно, подставляя точное числовое значение, проверяйте каждую границу промежутка ответа — включается она или нет. Финальный ответ перепроверьте, подставив 1–2 контрольных значения $a$ внутрь каждого промежутка и убедившись, что реальное число решений совпадает с требуемым в условии.