ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметромКусочное построение графика функции

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

система выражений левая круглая скобка |x плюс 1| плюс |x минус 3| минус y правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 10 минус x минус y конец аргумента =0 ,y=x плюс a конец системы .

имеет ровно два различных решения.

В подтеме 96 задач
Разбор
Главная идея: Первое уравнение задаёт объединение прямой y=10−xy=10-x и той части ломаной y=∣x+1∣+∣x−3∣y=|x+1|+|x-3|, что лежит под этой прямой; далее считаем число пересечений подвижной прямой y=x+ay=x+a с этим составным графиком.
  1. Уравнение (∣x+1∣+∣x−3∣−y)10−x−y=0(|x+1|+|x-3|-y)\sqrt{10-x-y}=0 равносильно объединению двух условий: либо 10−x−y=010-x-y=0 (прямая y=10−xy=10-x), либо y=∣x+1∣+∣x−3∣y=|x+1|+|x-3|, но во втором случае обязательно должен выполняться корень, то есть 10−x−y≥010-x-y\ge0. Значит график первого уравнения — это прямая y=10−xy=10-x плюс те участки «уголка» y=∣x+1∣+∣x−3∣y=|x+1|+|x-3|, которые лежат не выше этой прямой.
  2. Раскроем модули: при x≤−1x\le-1 функция y=−2x+2y=-2x+2, при −1≤x≤3-1\le x\le3 y=4y=4, при x≥3x\ge3 y=2x−2y=2x-2. Точки стыка: A(−1;4)A(-1;4), B(3;4)B(3;4). Условие y≤10−xy\le10-x выполняется на x∈[−8,−1]x\in[-8,-1] для первого куска, на всём [−1,3][-1,3], и на [3,4][3,4] для третьего. Пересечения ветвей с прямой y=10−xy=10-x дают точки D(−8;18)D(-8;18) и C(4;6)C(4;6). Итог: график — прямая y=10−xy=10-x плюс ломаная D→A→B→CD\to A\to B\to C.
  3. Прямая y=x+ay=x+a имеет угол 45∘45^\circ и всегда, при любом aa, пересекает прямую y=10−xy=10-x ровно в одной точке x=10−a2x=\frac{10-a}{2} (так как углы разные).
  4. Число решений системы равно числу точек пересечения y=x+ay=x+a с построенным графиком. Двигая прямую вверх (увеличивая aa), проверяем, сколько раз она пересекает ломаную DABCDABC: при a<1a<1 пересечений с ломаной нет — всего 1 решение; при a=1a=1 прямая касается точки BB — ровно 1 доп. пересечение, итого 2 решения; для 1<a<21<a<2 прямая пересекает сразу два звена ломаной (AB и BC) — получаем 3 решения; при a=2a=2 прямая проходит через CC, и эта точка совпадает с пересечением с y=10−xy=10-x, поэтому решений снова 2; для 2<a<262<a<26 прямая пересекает ломаную ровно один раз (на звеньях AB или DA), и это пересечение не совпадает с точкой на y=10−xy=10-x — итог 2 решения; при a=26a=26 прямая проходит через DD, где пересечение с ломаной сливается с пересечением с прямой y=10−xy=10-x — остаётся только 1 решение, поэтому эта точка не подходит; при a>26a>26 пересечений с ломаной нет вовсе — снова 1 решение.
  5. Собирая все случаи с ровно двумя решениями, получаем a=1a=1 и a∈[2;26)a\in[2;26).

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ограничение области определения корня и включают в график всю ломаную y=∣x+1∣+∣x−3∣y=|x+1|+|x-3|, а не только её часть под прямой y=10−xy=10-x.
  • Не отслеживают совпадение точки пересечения с ломаной и с прямой y=10−xy=10-x в критических точках CC и DD, из-за чего неверно считают количество решений на границах промежутка.
  • Не проверяют промежуточные значения параметра (например, между значениями, соответствующими точкам B и C), где число решений временно становится равным трём, и ошибочно включают весь интервал [1,2][1,2] в ответ.
Непонятно?

Похожие задачи